[論文レビュー] Alternating Towers and Piecewise Testable Separators

Štěpán Holub, Tomáš Masopust+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 13, 2014

semigroups and automata theory被引用数 1

ひとこと要約

本稿は、交互に塔を用いた正則言語の部分テスト可能分離子の計算の複雑さを調査し、分離可能性を決定づける上で重要な最大有限塔の高さが、状態数に関しては多項式的に増加するが、アルファベットサイズに関しては指数的に増加することを示している。著者らは、二進アルファベットに対してタイトな指数的下界を確立し、無限前駆文字列塔の存在についてNL完全性を証明し、言語分離可能性における重要な複雑さの問題を解決した。

ABSTRACT

Two languages are separable by a piecewise testable language if and only if there exists no infinite tower between them. An infinite tower is an infinite sequence of strings alternating between the two languages such that every string is a subsequence (scattered substring) of all the strings that follow. For regular languages represented by nondeterministic finite automata, the existence of an infinite tower is decidable in polynomial time. In this paper, we investigate the complexity of a particular method to compute a piecewise testable separator. We show that it is closely related to the height of maximal finite towers, and provide the upper and lower bounds with respect to the size of the given nondeterministic automata. Specifically, we show that the upper bound is polynomial with respect to the number of states with the cardinality of the alphabet in the exponent. Concerning the lower bound, we show that towers of exponential height with respect to the cardinality of the alphabet exist. Since these towers mostly turn out to be sequences of prefixes, we also provide a comparison with towers of prefixes.

研究の動機と目的

• 非決定的有限オートマトンによって表現される2つの正則言語間の最大有限塔の高さの上界と下界を特定すること。
• 塔の高さと部分テスト可能分離子を構築するための計算複雑さの関係を明確にすること。
• 互いに素な正則言語間の無限前駆文字列塔の存在を調査し、その複雑さを確立すること。
• 先行研究における交互に塔を用いた結果を拡張し、NFAおよびDFAの両方の境界を改善すること。
• 構造的性質の分析を通じて、効率的な部分テスト可能分離子の計算という未解決問題に取り組むこと。

提案手法

• 本稿は、2つの言語の文字列が交互に出現し、各文字列がその後続のすべての文字列の散らばった部分列であるような交互に塔を形成する系列（交互に塔）を分析し、積オートマトンの構築を用いる。
• 製品オートマトン A × B における到達可能性解析を用いて、高さや無限塔の存在を示すサイクルやパターンを検出する。
• 6つの状態（σ, σ1, σ2, τ, τ1, τ2）を含む新しいパターンに基づく特徴付けを導入し、サイクルと相互到達可能性を用いて無限塔の条件を検出する。
• 無限前駆文字列塔の存在問題を有向グラフにおける標準的到達可能性問題に還元し、構成的還元を用いてNL完全性を証明する。
• 強連結成分の構造的解析とサイクル検出を用いて、塔の高さの上界と下界を導出する。
• 既知の部分テスト可能分離可能性に関する結果を活用し、無限塔の非存在と結びつけることで、アルゴリズム的含意を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 無限塔が存在しない場合に、NFAによって表現される2つの正則言語間の有限交互に塔の最大高さは何か？
• RQ2 このような塔の高さは、状態数とアルファベットサイズに関してどのようにスケーリングされるか？
• RQ3 最小DFAに対しても、塔の高さに指数的下界を達成できるか？
• RQ4 2つの互いに素な正則言語間で無限前駆文字列塔が存在するかどうかを決定する計算複雑さは何か？
• RQ5 有限塔の構造と部分テスト可能分離子の計算効率との間に相関があるか？

主な発見

• 最大有限塔の高さに対する上界は、状態数に関しては多項式的だが、アルファベットサイズに関しては指数的であり、具体的にはアルファベットサイズを指数部に含む多項式によって上限づけられる。
• 二進正則言語に対して、2^|Σ|のオーダーのタイトな指数的下界が、線形要因を除いて確立され、この境界がほぼ最適であることが示された。
• 2つの互いに素な正則言語間で無限前駆文字列塔が存在するかどうかの問題は、NFAおよび最小DFAの両方でNL完全である。
• 指数的塔の高さの下界構成は、前駆文字列の系列を通じて達成されており、前駆文字列に基づく塔が複雑さの主な要因であることが示された。
• 本稿は、塔の高さに基づく部分テスト可能分離子の計算アルゴリズムが、アルファベットサイズに関して少なくとも指数的に多くの正則言語を処理しなければならないことが、最悪ケースで必要であることを確認した。
• 結果から、分離子の計算の複雑さは、有限塔の高さに根本的に依存しており、小さなアルファベットでもその高さが指数的に大きくなる可能性があることが示された。