[論文レビュー] Alternative linear structures associated with regular Lagrangians. Weyl quantization and the Von Neumann uniqueness theorem

Elisa Ercolessi, Alberto Ibort+2 more|ArXiv.org|Feb 3, 2006

Mathematical Analysis and Transform Methods参考文献 4被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、$TQ$ 上の正則ラグランジアンが $TQ$ 上の代替的線形構造を誘導できることを示しており、これにより異なるウェイリーや量化手順が可能になる。これらの非同値な量化は、異なる測度を持つ異なるラグランジュ部分多様体上で実現されるヒルベルト空間の非同値性を示すことにより、フォン・ノイマンの一意性定理を回避する。

ABSTRACT

We discuss how the existence of a regular Lagrangian description on the tangent bundle $TQ$ of some configuration space $Q$ allows for the construction of a linear structure on $TQ$ that can be considered as "adapted" to the given dynamical system. The fact then that many dynamical systems admit alternative Lagrangian descriptions opens the possibility to use the Weyl scheme to quantize the system in different non equivalent ways, "evading", so to speak, the von Neumann uniqueness theorem.

研究の動機と目的

• 正則ラグランジアン記述が $TQ$ 上で力学的線形構造をどのように誘導するかを調査すること。
• 同一系に対して異なる全微分でない複数の非同値ラグランジアン記述が、非同値なウェイリー量化を可能にするかを検討すること。
• このような量化がどのようにフォン・ノイマンの一意性定理を回避できるかを分析すること。
• 標準的なベクトル空間構造からの微分同相写像を用いて、$TQ$ 上に代替的線形構造を構築すること。
• 異なるラグランジアン部分多様体とルベーグ測度が、異なる量化スキームでどのように現れるかを示すこと。

提案手法

• 標準的ベクトル空間 $E$ からの線形演算を輸出する微分同相写像 $\phi: E \to M$ を用いて、$TQ$ 上に代替的線形構造を定義する。
• 新しい線形構造の無限小生成子として、関連するリウヴィル（拡大）ベクトル場 $\Delta = \phi_* \Delta_0$ を構成する。
• 新しい構造の下で、ラグランジュの二形式 $\omega_\mathcal{L}$ が標準的ダーブォックス形式に書き換えられることを示す。
• ヒルベルト空間上の可積分平方関数の上に、ウェイリー系を実現することによってウェイリー量化手順を適用する。
• 標準的リウヴィル場のプッシュフォワードを用いて、新しい線形演算およびその無限小生成子を定義する。
• 球面 $S^2$（座標 $x_1,x_2,x_3$ を用いる）を含む具体的な例を分析し、非自明な線形構造とその力学的性質を示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 正則ラグランジアンは、系に適合した力学的線形構造を $TQ$ 上に誘導できるか？
• RQ2 全微分でない代替的ラグランジアン記述（同一系に対して）は、$TQ$ 上で非同値な線形構造をもたらすか？
• RQ3 このような非同値な線形構造は、異なるヒルベルト空間構造を持つ別個のウェイリー量化を支えることができるか？
• RQ4 このような代替的量化スキームにより、フォン・ノイマンの一意性定理を回避することは可能か？
• RQ5 異なるラグランジアンによって誘導される異なる線形構造の下で、ルベーグ測度とラグランジュ部分多様体はどのように変換されるか？

主な発見

• 正則ラグランジアンは、標準的ベクトル空間からの微分同相写像を介して、系に適合した線形構造を $TQ$ 上に構成可能である。
• 誘導された線形構造により、$\mathbb{R}^{2n}$ の新たな作用が $TQ$ 上に生じ、ラグランジュの二形式 $\omega_\mathcal{L}$ が標準的ダーブォックス形式に表現可能である。
• 同一系に対して異なる正則ラグランジアンは、非同値な線形構造をもたらし、それにより異なるラグランジュ部分多様体上で異なるウェイリー量化が生じる。
• それぞれの部分多様体上の異なるルベーグ測度のため、これらの量化から得られるヒルベルト空間構造は非同値である。
• 得られるウェイリー系がユニタリ同値ではないため、フォン・ノイマンの一意性定理が回避される。
• 球面 $S^2$（座標 $x_1,x_2,x_3$ を用いる）を含む明示的例は、ステレオグラフィック型微分同相写像およびそれに関連する拡大場を介して、非自明な線形構造を示している。