[論文レビュー] Alternative Mathematics without Actual Infinity

Tōru Tsujishita|arXiv (Cornell University)|Apr 9, 2012

Mathematical and Theoretical Analysis参考文献 22被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、実無限を代替する数学的枠組みを提案し、有限性の定性的な多様性を用いて、アクセス可能な有限集合と '区別不能性' などの曖昧な概念を用いて連続体を構築する。ZFCに依存しない非標準的スタイルの数学を展開し、内部測定とソリテスに基づく同値性を通じて、実数、微積分、測度論を確立する。無限集合を排除した直感主義的で整合性のある解析の基礎が得られる。

ABSTRACT

An alternative mathematics based on qualitative plurality of finiteness is developed to make non-standard mathematics independent of infinite set theory. The vague concept "accessibility" is used coherently within finite set theory whose separation axiom is restricted to definite objective conditions. The weak equivalence relations are defined as binary relations with sorites phenomena. Continua are collection with weak equivalence relations called indistinguishability. The points of continua are the proper classes of mutually indistinguishable elements and have identities with sorites paradox. Four continua formed by huge binary words are examined as a new type of continua. Ascoli-Arzela type theorem is given as an example indicating the feasibility of treating function spaces. The real numbers are defined to be the points on the linear continuum and have indefiniteness. Exponentiation is introduced by the Eulerian style and basic properties are established. Basic calculus is developed and the differentiability is captured by the behavior on a point. Main tools of Lebesgue measure theory is obtained in a similar way as Loeb measure. Differences from the current mathematics are examined, such as the indefiniteness of natural numbers, qualitative plurality of finiteness, mathematical usage of vague concepts, the continuum as a primary inexhaustible entity and the hitherto disregarded aspect of "internal measurement" in mathematics.

研究の動機と目的

• カントールの無限集合論に依存しない非標準的数学を構築し、ZFCを基礎としないようにすること。
• 離散的と連続的との間の哲学的・数学的緊張を解消し、無限を大規模な有限性の現象として扱うこと。
• 有限集合論内において '可及性' や '区別不能性' といった曖昧な概念を論理的に整合的に形式化すること。
• ソリテス関係と、互いに区別不能な要素の集合としての点（固有クラス）を用いて、実数、微積分、測度論を再構築すること。
• 内部測定を基礎的原理として導入し、数学的観察における認知的制限を反映すること。

提案手法

• 明確な客観的条件に基づく制限付き分離公理を用いて、有限集合論内での半集合とクラスを定義する。
• ソリテス現象による弱い同値関係を定義し、微小な変化が同一性を変えないことで連続体の基礎をつくる。
• 連続体を、区別不能性関係を備えた集合として構成し、点を互いに区別不能な要素の固有クラスとして定義する。
• 実数を直線的連続体上の点として定義し、下位構造のソリテスに基づく区別不能性構造から不確定性を引き継ぐ。
• オイラー風の指数関数を導入し、差分商と無限小テイラー展開を用いて微積分を展開する。
• ノルム半集合と可測半集合上の積分を用いて、ローブ測度に類似した形で測度論を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非標準的解析は、実無限やZFCに依存せずに完全に再構築可能か？
• RQ2 有限数学内において '可及性' や '区別不能性' といった曖昧な概念を論理的に整合的に扱えるか？
• RQ3 ソリテスの逆説は、連続性と連続体の定義において果たす役割は何か？
• RQ4 自然数の全対象が不確定な状況下で、微積分と測度論はどのように展開できるか？
• RQ5 認知的制限を反映する内部測定は、数学的対象の基礎をどのように再構築するか？

主な発見

• 実無限を排除し、有限性の定性的多様性とアクセス可能な有限集合に根ざした整合的な数学的枠組みが構築された。
• 実数は、ソリテスに基づく区別不能性構造から不確定性を引き継ぐ直線的連続体上の点として定義された。
• アスリ・アルツェラの定理の類似版が確立され、この体系で関数空間を扱う可能性が示された。
• 指数関数はオイラー風の方法で導入され、無限集合を用いずに基本的な代数的・解析的性質が導出された。
• ノルム半集合と可測半集合上の積分を用いて測度論が再構築され、ローブ測度に類似したが有限集合論内に収束する形となった。
• この枠組みは、定理による動的な精錬を通じて数学的対象を再構築する新しい見方を可能にした。内部測定と認知的制限を反映する。