[論文レビュー] Ambient connections realising conformal Tractor holonomy

Stuart Armstrong, Thomas Leistner|arXiv (Cornell University)|Jun 16, 2006

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 4被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、曲率が存在するが、共形構造と整合するアファイン接続であるアンビエント接続を導入し、それが正規共形トレイクター接続のホロノミーをそのアファインホロノミーとして実現することを示す。具体的な例を構成することで、C-空間に対しては捩れのない接続が得られ、アインシュタイン多様体に対してはリッチ平坦な接続が得られ、フェッファーマン＝グレゴリーおよびČap–Goverのアンビエント構成を一般化する。

ABSTRACT

For a conformal manifold we introduce the notion of an ambient connection, an affine connection on an ambient manifold of the conformal manifold, possibly with torsion, and with conditions relating it to the conformal structure. The purpose of this construction is to realise the normal conformal tractor holonomy as affine holonomy of such a connection. We give an example of an ambient connection for which this is the case, and which is torsion free if we start the construction with a C-space, and in addition Ricci-flat if we start with an Einstein manifold. Thus for a $C$-space this example leads to an ambient metric in the weaker sense of Čap and Gover, and for an Einstein space to a Ricci-flat ambient metric in the sense of Fefferman and Graham.

研究の動機と目的

• フェッファーマンとグレゴリーのアービエント計量構成およびライストナーのコーン構成を一般化し、共形トレイクター接続のホロノミーをアファインホロノミーとして実現すること。
• 共形構造と整合し、トレイクター bundle 構造を保つアンビエント接続を定義すること。
• そのホロノミーが正規共形トレイクター接続のホロノミーと一致する具体的なアンビエント接続を構成すること。
• アインシュタインコーンやリッチ平坦構成といった既知の事例を、一般枠組みの特別な場合として回復すること。
• 共形構造のコタン＝ヨークテンソルが消えるとき、トレイクター接続のホロノミーがベルジャ代数であるという代数的結果を幾何学的実現すること。

提案手法

• 次元 n+2 のアンビエント多様体上のアファイン接続（可能であれば捩れを有する）としてアンビエント接続の概念を導入し、共形構造を尊重すること。
• 計量 h と接続 ∇̃ を定義し、dϕ|Q = 0 および torsion T|Q = 0 を満たすことで、トレイクター bundle との整合性を保証すること。
• R+ 活動を生成するベクトル場 F をアンビエント多様体上に構成し、∇̃ に関して測地的であることを保証することで、ホロノミーの保存を確保すること。
• 基本多様体からアンビエント多様体へのベクトル場の上昇 X̃ を用いて、平行移動とホロノミー構造を保存すること。
• R+ フローが測地的であるとき、T̃M|Q 上のアンビエント接続 ∇̃ のホロノミーが、共形トレイクター接続 Hol[q](T,∇T) と同型であることを示すこと。
• C-空間ではアンビエント接続が捩れなしであり、アインシュタイン多様体ではリッチ平坦であることを証明し、既知のアービエント計量構成を拡張すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 制御された捩れと計量構造を持つアンビエント接続として、正規共形トレイクター接続のホロノミーをアファインホロノミーとして実現できるか？
• RQ2 アンビエント接続の構成は、フェッファーマン–グレゴリーのアービエント計量およびアインシュタインコーン構成をどのように一般化するか？
• RQ3 アンビエント接続のホロノミーが完全なトレイクター接続のホロノミー群と一致するための条件は何か？
• RQ4 幾何的仮定（例えば C-空間、アインシュタイン多様体）の下で、アンビエント接続が捩れなしまたはリッチ平坦になる条件は何か？
• RQ5 測地的フローと上昇されたベクトル場を介して、アンビエント接続のホロノミーとトレイクター接続のホロノミーの関係は何か？

主な発見

• アンビエント接続 ∇̃ は、共形多様体 Q に制限されたアンビエント接続のホロノミーが、正規共形トレイクター接続のホロノミーと同型であるように構成されている。
• C-空間では、アンビエント接続は捩れなしであり、Čap と Gover の弱いアービエント計量構成を一般化している。
• アインシュタイン多様体では、アンビエント接続はリッチ平坦であり、リッチ平坦の場合のフェッファーマン＝グレゴリーのアービエント計量を回復している。
• 共形構造のコタン＝ヨークテンソルが消えるとき、トレイクター接続のホロノミーがベルジャ代数であるという代数的結果が、幾何学的実現によって実現されている。
• R+ フローが測地的であるとき、アンビエント接続のホロノミーはトレイクター接続のホロノミーと一致し、これは上昇されたベクトル場の平行移動とアンビエント多様体内の測地的曲線によって示されている。