[論文レビュー] Ambikaehler geometry, ambitoric surfaces and Einstein 4-orbifolds

Vestislav Apostolov, David M. J. Calderbank+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 5, 2010

Geometry and complex manifolds参考文献 26被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、共通のトーラス作用をもつ4次元多様体上における、共形に同値で逆向きのKähler計量の局所分類を提供し、幾何学的構造が2次多項式と1変数の任意関数2つによって支配されることを明らかにする。計量が極値的である場合には、明示的に4次多項式として与えられる。主な貢献は、どちらの向きに対してもHermitianであるEinstein 4軌道体の明示的局所記述であり、これは自己双対なEinstein Hermitian多様体に関する先行研究を拡張し、無限個のコンパクトなトーリック極値的Kähler軌道体の族を生じる。

ABSTRACT

We give an explicit local classification of conformally equivalent but oppositely oriented Kaehler metrics on a 4-manifold which are toric with respect to a common 2-torus action. In the generic case, these structures have an intriguing local geometry depending on a quadratic polynomial and two arbitrary functions of one variable, these two functions being explicit degree 4 polynomials when the Kaehler metrics are extremal (in the sense of Calabi). One motivation for and application of this result is an explicit local description of Einstein 4-manifolds which are hermitian with respect to either orientation. This can be considered as a riemannian analogue of a result in General Relativity due to R. Debever, N. Kamran, and R. McLenaghan, and is a natural extension of the classification of selfdual Einstein hermitian 4-manifolds, obtained independently by R. Bryant and the first and third authors. We discuss toric compactifications of these metrics on orbifolds and provide infinite discrete families of compact toric extremal Kaehler orbifolds. Our examples include Bach-flat Kaehler orbifolds which are conformal to complete smooth Einstein metrics on an open subset. We illustrate how these examples fit with recent conjectures relating the existence of extremal toric metrics to various notions of stability.

研究の動機と目的

• 共通の2次元トーラス作用をもつ4次元多様体上における、共形に同値だが逆向きのKähler計量の分類。
• 2次多項式と1変数の任意関数2つを用いた、このような構造の局所幾何的記述の提供。
• 分類を応用し、どちらの向きに対してもHermitianであるEinstein 4軌道体の明示的例の構成。
• 局所解からのトーリックコンパクト化を用いて、コンパクトなトーリック極値的Kähler軌道体の無限離散族の生成。
• 最近の予想を踏まえ、極値的トーリック計量の存在と安定性の概念との関連の解明。

提案手法

• 1変数の関数を含むODEおよびPDEの系に問題を還元するためのトーリック対称性の利用。
• 2次多項式と2つの任意関数を用いた局所Kähler計量の構成；極値的場合に明示的に4次多項式の形で与えられる。
• 共形同値性を介して逆向きのKähler構造を関連付けるambikähler形式主義の適用。
• ambikähler設定におけるEinstein条件の導出により、2つの関数を制約する方程式系の導出。
• 局所解からコンパクトな軌道体例を構成するためのトーリックコンパクト化技術の利用。
• 得られた計量の極値性、Bach平坦性、および開部分集合における共形完備性の検証のための解析。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 共通のトーラス作用をもつ4次元多様体上における、共形に同値だが逆向きのKähler計量の局所構造は何か？
• RQ2 このような計量の幾何的不変量は、2次多項式と1変数の任意関数2つにどのように依存するか？
• RQ3 この分類により、どちらの向きに対してもHermitianであるEinstein 4軌道体の明示的例が得られるか？
• RQ4 局所解のトーリックコンパクト化によって、どのような無限族のコンパクトなトーリック極値的Kähler軌道体が構成可能か？
• RQ5 これらの例は、極値的トーリック計量に関する予想的な安定性条件とどのように関連するか？

主な発見

• 逆向きで共形に同値なKähler計量の局所幾何は、2次多項式と1変数の任意関数2つによって決定される。
• Kähler計量が極値的である場合、2つの関数は明示的に4次多項式として与えられる。
• この分類は、一般相対性理論におけるDebever, Kamran, and McLenaghanの結果のRiemann的類似をもたらす。
• 構成により、無限個の離散的コンパクトなトーリック極値的Kähler軌道体の族が得られる。
• 例には、開部分集合上で滑らかな完全なEinstein計量と共形同値であるBach平坦なKähler軌道体が含まれる。
• 結果は、極値的トーリック計量と代数幾何的安定性概念との関連を示唆する最近の予想を支持する。