[論文レビュー] Amenability and Acyclicity in Bounded Cohomology Theory

Marco Moraschini, George Raptis|arXiv (Cornell University)|May 6, 2021

Advanced Operator Algebra Research参考文献 16被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、有界コホモロジーにおける等長的同型を用いて、アメーブルでかつ有界的に細胞的（boundedly acyclic）な群準同型の完全な特徴付けを確立している。これはジョンソンによるアメーブル群の特徴付けを拡張したものである。全射準同型 φ: Γ → K がアメーブルな核を持つことと、すべての双対ノルム付き ℝ[Γ]-加群 V に対して有界コホモロジーにおけるインフレーション写像 Hᵇ•(K; Vᴴ) → Hᵇ•(Γ; V) が等長的同型であることとは同値であり、この結果をホモトピー・ファイバーを用いて位相空間へと拡張し、アメーブル性と細胞的性が有界コホモロジーの消滅と結びついていることを示している。

ABSTRACT

Johnson's characterization of amenable groups states that a discrete group $Γ$ is amenable if and only if $H_b^{n \geq 1}(Γ; V) = 0$ for all dual normed $\mathbb{R}[Γ]$-modules V. In this paper, we extend the previous result to homomorphisms by proving the converse of the Mapping Theorem: a surjective group homomorphism $ϕ\colon Γ o K$ has amenable kernel H if and only if the induced inflation map $H^\bullet_b(K; V^H) o H^\bullet_b(Γ; V)$ is an isometric isomorphism for every dual normed $\mathbb{R}[Γ]$-module V. In addition, we obtain an analogous characterization for the (smaller) class of surjective group homomorphisms $ϕ\colon Γ o K$ with the property that the inflation maps in bounded cohomology are isometric isomorphisms for all Banach $Γ$-modules. Finally, we also prove a characterization of the (larger) class of boundedly acyclic homomorphisms, that is, the class of group homomorphisms $ϕ\colon Γ o K$ for which the restriction maps in bounded cohomology $H^\bullet_b(K; V) o H^\bullet_b(Γ; ϕ^{-1}V)$ are isomorphisms for a suitable family of dual normed $\mathbb{R}[K]$-modules V including the trivial $\mathbb{R}[K]$-module $\mathbb{R}$. We then extend the first and third results to topological spaces and obtain characterizations of amenable maps and boundedly acyclic maps in terms of the vanishing of the bounded cohomology of their homotopy fibers with respect to appropriate choices of coefficients.

研究の動機と目的

• 群準同型に対する有界コホモロジーを用いたジョンソンによるアメーブル群の特徴付けを拡張すること。
• ジョンソンの定理の逆を特徴づけるために、有界コホモロジーにおける等長的同型を用いてアメーブル写像を特徴付けること。
• 適切な係数のクラスに関して、有界コホモロジーにおける同型を用いて有界的に細胞的準同型を特徴付けること。
• ホモトピー・ファイバーと有界コホモロジーを用いて、群から位相空間へと結果を一般化すること。
• 単体的体積への応用を行い、細胞的条件の下で相対単体的体積が消えることを証明すること。

提案手法

• 全射群準同型 φ: Γ → K がアメーブルな核 H を持つことと、すべての双対ノルム付き ℝ[Γ]-加群 V に対して、有界コホモロジーにおけるインフレーション写像 Hᵇ•(K; Vᴴ) → Hᵇ•(Γ; V) が等長的同型であることとは同値であることを証明する。
• 写像 f: X → Y のホモトピー・ファイバー F の構造を用いて、f のアメーブル性を π₁(F) のアメーブル性および f* の核に関連付ける。
• 有界コホモロジーにおけるインフレーション写像が等長的同型であるような写像をアメーブル写像と定義し、ジョンソンの特徴付けを一般化する。
• 有界コホモロジーにおける制限写像が、ℝ を含む適切な係数のクラスに対して同型であるような写像を有界的に細胞的写像と定義する。
• 境界付き多様体の相対有界コホモロジーに結果を適用し、有界コホモロジーの長完全系列を用いる。
• 有界コホモロジーと通常のコホモロジーの比較写像を用いて、単体的体積の消滅を有界コホモロジーの消滅に関連付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 全射群準同型 φ: Γ → K が、すべての双対ノルム付き ℝ[Γ]-加群 V に対して、インフレーション写像 Hᵇ•(K; Vᴴ) → Hᵇ•(Γ; V) が等長的同型であるという性質を満たすのは、いつか？
• RQ2 写像 f: X → Y に対するアメーブル性の位相的類似物は何か？ そして、有界コホモロジーを用いてどのように特徴付けられるか？
• RQ3 どの群準同型 φ: Γ → K が、適切な係数のクラス V に対して、制限写像 Hᵇ•(K; V) → Hᵇ•(Γ; φ⁻¹V) が同型であるか？
• RQ4 写像 f: X → Y のホモトピー・ファイバー F の有界コホモロジーは、f のアメーブル性または細胞的性とどのように関係するか？
• RQ5 境界付き多様体の相対単体的体積がどのような条件下で消えるか？ そして、これは有界コホモロジーとどのように関係するか？

主な発見

• 全射群準同型 φ: Γ → K がアメーブルな核を持つことと、すべての双対ノルム付き ℝ[Γ]-加群 V に対して、インフレーション写像 Hᵇ•(K; Vᴴ) → Hᵇ•(Γ; V) が等長的同型であることとは同値である。
• 群準同型 φ: Γ → K が有界的に細胞的であることのクラスは、すべての双対ノルム付き ℝ[K]-加群 V（ℝ を含む）に対して、制限写像 Hᵇ•(K; V) → Hᵇ•(Γ; φ⁻¹V) が同型であるという条件によって特徴付けられる。
• 基点付きパス連結空間 X → Y の写像 f に対して、f がアメーブルであることと、ホモトピー・ファイバー F に対して π₁(F) がアメーブルであることとは同値である。これはジョンソンの定理を写像へと一般化したものである。
• 写像 f: X → Y が有界的に n-細胞的であることと、ホモトピー・ファイバー F に対してすべての 1 ≤ k ≤ n に対して Hᵇᵏ(F; ℝ) = 0 であることとは同値である。
• 包含写像 i: ∂M → M のホモトピー・ファイバー F が有界的に (n−1)-細胞的であれば、すべての 0 ≤ k ≤ n に対して Hᵇᵏ(M, ∂M; ℝ) = 0 である。
• その結果、境界包含写像のホモトピー・ファイバーが有界的に (n−1)-細胞的であれば、相対単体的体積 ‖M, ∂M‖ は消える。