[論文レビュー] Amenability and paradoxical decompositions for pseudogroups and for discrete metric spaces

Tullio Ceccherini‐Silberstein, Rostislav Grigorchuk+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 14, 2016

Advanced Operator Algebra Research参考文献 79被引用数 83

ひとこと要約

本稿は、擬群および離散的距離空間における可解性、パラドキシカルな分割、幾何的性質を結びつける包括的な枠組みを確立する。擬群の形式的記述とHall-Radoのマッチング定理を用いて、可解性がFølner条件と同値であることを証明し、さらにこれと等周的不等式、ランダムウォークにおけるスペクトルギャップ、局所的に有限な距離空間におけるGromovの二重化条件の否定と関連付ける。

ABSTRACT

This is an expostion of various aspects of amenability and paradoxical decompositions for groups, group actions and metric spaces. First, we review the formalism of pseudogroups, which is well adapted to stating the alternative of Tarski, according to which a pseudogroup without invariant mean gives rise to paradoxical decompositions, and to defining a F{\\o}lner condition. Using a Hall-Rado Theorem on matchings in graphs, we show then for pseudogroups that existence of an invariant mean is equivalent to the F{\\o}lner condition; in the case of the pseudogroup of bounded perturbations of the identity on a locally finite metric space, these conditions are moreover equivalent to the negation of the Gromov's so-called doubling condition, to isoperimetric conditions, to Kesten's spectral condition for related simple random walks, and to various other conditions. We define also the minimal Tarski number of paradoxical decompositions associated to a non-amenable group action (an integer $\\ge 4$), and we indicate numerical estimates (Sections II.4 and IV.2). The final chapter explores for metric spaces the notion of supramenability, due for groups to Rosenblatt.

研究の動機と目的

• Tarskiの代替定理—非可解的擬群はパラドキシカルな分割を有する—を擬群の形式的記述において再定式化すること。
• 局所的に有限な距離空間に作用する擬群について、可解性とFølner条件の同値性を確立すること。
• 可解性を等周的プロファイル、Kestenのスペクトル条件、Gromovの二重化条件の否定といった幾何的およびスペクトル的不変量と結びつけること。
• 非可解的群作用におけるパラドキシカルな分割の最小Tarski数を定義し、推定すること。
• 擬群および局所的に有限な距離空間への超可解性の概念を拡張し、その成長タイプおよび埋め込みへの影響を調査すること。

提案手法

• 有限な接合および制限に関して閉じた、集合論的擬群の形式的記述を用いて群作用および距離の摂動をモデル化すること。
• グラフにおけるマッチングに関するHall-Rado定理を応用し、不変平均の存在が擬群におけるFølner条件と同値であることを証明すること。
• 局所的に有限な距離空間における恒等写像の有界摂動を、主要な擬群のクラスとして分析すること。
• Kestenの単純なランダムウォークに関する基準を用いて、Følner条件が等周的不等式およびスペクトルギャップと関連することを示すこと。
• 組合せ的および幾何的技法を用いて、非可解的群のTarski数を推定し、Ol’shanskiiとBurnsideの構成による非トーショントルスおよびトーショントルス群を含む。
• Rosenblattの超可解性の概念を擬群および距離空間に拡張し、Lipschitz埋め込みおよび不変測度を用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 擬群における可解性はFølner条件と同値であるか。また、これは幾何的およびスペクトル的性質とどのように関連するか。
• RQ2 非可解的群作用のTarski数は下界および上界で抑えられるか。最もタイトな既知の推定値は何か。
• RQ3 超指数的成長を示すが超可解性を満たす局所的に有限な距離空間は存在するか。
• RQ4 局所的に有限な距離空間において、指数的成長、超指数的成長、部分指数的成長の概念は粗同値に関して不変か。
• RQ5 二つの超可解的群の直積は常に超可解的か。また、超可解的群は指数的成長を示すことができるか。

主な発見

• 局所的に有限な距離空間上の有界摂動の擬群について、可解性はFølner条件、Gromovの二重化条件の否定、等周的不等式と同値である。
• 非可解的群のTarski数は $4 \leq \mathcal{T}(G) \leq \infty$ を満たし、$\mathcal{T}(G) = 4$ であることは、$G$ が非アーベル自由部分群を含むことと同値である。
• Ol’shanskiiが構成した非トーショントルス群について、$5 \leq \mathcal{T}(G) \leq 34$ が成り立つ。トーショントルス群についても、$6 \leq \mathcal{T}(G) \leq 34$ が成り立つ。
• $m \geq 2$ かつ奇数の $n \geq 665$ について、Burnside群 $B(m,n)$ については $6 \leq \mathcal{T}(B(m,n)) \leq 14$ が成り立つ。
• 超可解的かつ超指数的成長を示すグラフが存在し、超可解性が部分指数的成長を意味するとは限らないことを示している。
• 自由群 $F_m$ の可解的商の最小成長率は、$2m-1$ に近づくことができ、これは最大の可能な割合である。このとき商がアーベル的-冪零的またはメタアーベル的-有限であっても同様である。