[論文レビュー] Amenability and weak amenability of the Fourier algebra

Brian Forrest, Volker Runde|ArXiv.org|Nov 18, 2002

Advanced Operator Algebra Research被引用数 18

ひとこと要約

この論文は、局所コンパクト群 $G$ のフーリエ代数 $A(G)$ がアーベル部分群を有限索引で持つときかつそのときに限りアーベル的であることを確立し、$G_e$ がアーベルである場合には $A(G)$ が弱アーベル的であることを証明している。主な貢献は、$A(G)$ のアーベル的性の完全な特徴付けであり、長年の予想を解決したものであり、$G_e$ の構造を通じた弱アーベル的性の特徴付けについての部分的進展も示している。結果は作用素空間理論、コホロロジー的技法、およびリー群とSIN群の構造的解析に依拠している。

ABSTRACT

Let $G$ be a locally compact group. We show that its Fourier algebra $A(G)$ is amenable if and only if $G$ has an abelian subgroup of finite index, and that its Fourier-Stieltjes algebra $B(G)$ is amenable if and only if $G$ has a compact, abelian subgroup of finite index. We then show that $A(G)$ is weakly amenable if the component of the identity of $G$ is abelian, and we prove some partial results towards the converse.

研究の動機と目的

• 「$A(G)$ がアーベル的であるのは、$G$ がアーベル部分群を有限索引で持つときのみである」という予想を解決すること。
• 特に $G_e$ の役割に注目して、$A(G)$ が弱アーベル的である条件を調査すること。
• 特に $[\operatorname{SIN}]$-群の文脈において、$A(G)$ の『遺伝的弱アーベル的性』という概念を導入し、それらを研究すること。
• $A(G)$ の弱アーベル的性と $G_e$ のアーベル性との間の構造的関係を確立し、$[\operatorname{SIN}]$-群においては逆も成り立つことを証明すること。

提案手法

• 導来写像を用いたジョンソンのアーベル的性のコホロロジー的特徴づけ（双作用素空間への導来写像による）を用いる。
• 有界近似単位の存在に依拠して、$A(G)$ のアーベル的性を特徴づける近似対角基準を適用する。
• 特に $A(G)$ に自然に定まる作用素空間構造を用いて、弱アーベル的性を分析する作用素空間技法を採用する。
• リー群およびその商の構造的解析を実施し、特に $[\operatorname{SIN}]$-群では $G_e \cong V \times K$ の分解を用いる。
• 既知の非アーベルコンパクト群に関する結果を活用して、コンパクト正規部分群による商をとることで問題をコンパクト連結リー群に還元する。
• 遺伝的弱アーベル的性のもとで $A(G/K)$ が $A(G)$ から弱アーベル的性を引き継ぐという事実を用いて、群構造に関する帰納的議論を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 局所コンパクト群 $G$ に対して、フーリエ代数 $A(G)$ がどのような条件下でアーベル的であるか。
• RQ2 $G$ がアーベル部分群を有限索引で持つという条件が、$A(G)$ がアーベル的であるために必要かつ十分であるか。
• RQ3 $A(G)$ が弱アーベル的であるのはいつか。また、$G_e$ がアーベル的であることから弱アーベル的性が導かれるか。
• RQ4 弱アーベル的性が $A(G)$ に成り立つ場合、少なくとも追加の群論的仮定のもとで $G_e$ がアーベル的であることがいえるか。
• RQ5 遺伝的弱アーベル的性が、$A(G)$ が弱アーベル的である場合の $G$ の構造を特徴づける上で果たす役割は何か。

主な発見

• フーリエ代数 $A(G)$ は、$G$ がアーベル部分群を有限索引で持つときかつそのときに限りアーベル的である。
• フーリエ＝スタイリッツ代数 $B(G)$ は、$G$ がコンパクトかつアーベルな部分群を有限索引で持つときかつそのときに限りアーベル的である。
• 群 $G$ の単位成分 $G_e$ がアーベル的であれば、$A(G)$ は弱アーベル的である。
• $[\operatorname{SIN}]$-群では、$A(G)$ が遺伝的弱アーベル的であることは $G_e$ がアーベル的であることと同値である。
• $[\operatorname{SIN}]$-群で $A(G)$ が遺伝的弱アーベル的であれば、$G_e$ はアーベル的でなければならない。
• $[\operatorname{IN}]$-群では、$A(G)$ が遺伝的弱アーベル的であれば、$G_e$ はコンパクト正規部分群 $K$ を持ち、$G_e/K$ がアーベル的である。