[論文レビュー] Amenability of groups is characterized by Myhill's Theorem

Laurent Bartholdi, Kielak, Dawid|arXiv (Cornell University)|May 30, 2016

Cellular Automata and Applications参考文献 8被引用数 23

ひとこと要約

この論文は、細胞オートマトンを用いてアメーブル群の特徴づけを確立する。群がアメーブルであるための必要十分条件は、庭園の夢（GOE）パターンを持つすべての細胞オートマトンが、互いに消去可能なパターン（MEP）を持つことである。証明では、任意の非アメーブル群に対して、GOEを持つがMEPを持たない細胞オートマトンを構成することで、マイヒルの庭園の夢定理の逆を示している。これは、チェッチャリーニ＝シルベスタイン、マーチ、スカラボッティによる長年の予想を解決し、シュップが提起した、マイヒルの定理が成り立つ群のクラスに関する問いに答えている。

ABSTRACT

We prove a converse to Myhill's "Garden-of-Eden" theorem and obtain in this manner a characterization of amenability in terms of cellular automata: "A group $G$ is amenable if and only if every cellular automaton with carrier $G$ that has gardens of Eden also has mutually erasable patterns." This answers a question by Schupp, and solves a conjecture by Ceccherini-Silberstein, Machì and Scarabotti. An appendix by Dawid Kielak proves that group rings without zero divisors are Ore domains precisely when the group is amenable, answering a conjecture attributed to Guba.

研究の動機と目的

• マイヒルの庭園の夢定理がアメーブル群に対してのみ成り立つという予想を解決すること。
• マイヒルの定理の逆を証明すること：群が非アメーブルであれば、庭園の夢を持つが互いに消去可能なパターンを持たない細胞オートマトンが存在すること。
• 細胞オートマトンにおけるGOEとMEPの相互作用に基づいて、アメーブル性を特徴づけること。
• 群のアメーブル性と群環の代数的性質（特にゼロ因子の不在）との間の関係を確立すること。

提案手法

• 有限体Kを用いた群環K[G]上の行列を用いて、非アメーブル群G上に線形細胞オートマトンを構成する。
• 有限にサポートされた配置におけるオートマトンの単射性が、MEPの不在を意味することを用いる。
• A^G = (K^2)^Gにおける非自明な第二成分を持つ配置が像に属しないことを示すことで、構成されたオートマトンがGOEを持つことを証明する。
• 付録でキーアクが確立したように、群環K[G]における非自明なゼロ因子の存在とGの非アメーブル性との同値性を活用する。
• アメーブル性のFølnerの基準を用いて、非アメーブル群が移動に対して不変性が低い有限集合をもつことを示す。
• ベルヌーイ測度を用いた測度論的議論により、測度の不保存性とGOEの存在を結びつける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 マイヒルの庭園の夢定理はすべての群で成り立つか、それとも特定のクラスでのみ成り立つか？
• RQ2 細胞オートマトンにおける庭園の夢と互いに消去可能なパターンの論理的関係によって、群のアメーブル性を特徴づけられるか？
• RQ3 マイヒルの定理の逆は成り立つか：群がGOEを持つがMEPを持たない細胞オートマトンをもてば、それは必ず非アメーブルであるか？
• RQ4 群環K[G]がオア環であるための代数的条件は何か？ そしてそれはアメーブル性とどのように関係するか？
• RQ5 K[G]にゼロ因子が存在しないことは、Gがアメーブルであることを意味するか？

主な発見

• 群Gがアメーブルであることと、G上のすべての細胞オートマトンが庭園の夢を持つならば、同時に互いに消去可能なパターンを持つことは同値である。
• 任意の非アメーブル群Gに対して、庭園の夢を持つが互いに消去可能なパターンを持たない細胞オートマトンが存在する。これはマイヒルの定理の逆を証明する。
• 細胞オートマトンがGOEを持つがMEPを持たないことは、その群が非アメーブルであることを示唆する。
• 群環K[G]にゼロ因子が存在しないことは、Gがアメーブルであることと同値である（ダヴィド・キーアクによる付録で証明済み）。
• アメーブル性とGOEおよびMEPの性質の一致は、アメーブル群に限らず、すべての群で成り立つ。
• ベルヌーイ測度が細胞オートマトンによって保存されるのは、そのオートマトンが庭園の夢を持たないときであり、これは群がアメーブルであるときに限り成り立つ。