[論文レビュー] Amenability of Hopf C^*-algebras

Chi–Keung Ng|ArXiv.org|Jun 8, 1999

Advanced Operator Algebra Research参考文献 11被引用数 15

ひとこと要約

この論文は、局所コンパクト群のアメニタリティを一般化する、フーリエ代数 $A_S$ を用いたホップ $C^*$-代数におけるコアメニタリティの3つの同値な定義を導入し、それらを研究する。Kac-Fourier双対性枠組みにおいて、一方の双対対象のコアメニタリティが他方のアメニタリティに同値であることを確立し、コアメニタリティが双対対象の核的性を示すことを証明する。これは、非可換かつ非ココルポータブルな量子群の設定へと古典的結果を拡張する。

ABSTRACT

Three natural definitions for amenability of general Hopf C^*-algebras (all of them being generalizations of the case of locally compact groups) were given and the relations between them were studied. Moreover, amenability in the situation of duality of Hopf C^*-algebras was also studied.

研究の動機と目的

• ホップ $C^*$-代数におけるコアメニタリティを、群のアメニタリティ基準の一般化を用いて定義し、調査すること。
• ホップ $C^*$-代数におけるフーリエ双対性の文脈で、アメニタリティとコアメニタリティの双対性を調査すること。
• 有界近似単位、点の分離、双対空間の同型という異なるコアメニタリティ条件の間の同値性を確立すること。
• コアメニタリティが双対対象における核的性および不変平均に与える影響を調査すること。
• ホップ $C^*$-代数の非可換かつ非ココルポータブルな設定へと、群のアメニタリティに関する古典的結果を拡張すること。

提案手法

• ホップ $C^*$-代数 $S$ のコアメニタリティを、3つの条件によって定義する：(a) $A_S$ が有界近似単位を持つ；(b) $A_S$ が点を分離し、$S$ が余単位的である；(c) $S^* \cong M(A_S)$。
• フーリエ代数 $A_S$ を、[12]で既に定義済みのものとして、群のアメニタリティを一般化する中心的対象とする。
• 共変表現および不変平均の理論を適用して、双対系におけるアメニタリティを特徴付ける。
• 内在的双対性および表現論を用いて、Kac-Fourier双対性 $(T,X,S)$ において、$T$ のコアメニタリティと $S$ のアメニタリティの同値性を確立する。
• クローズド積および核的性に関する結果を適用して、$S$ がアメニタリティならば、その弱双対 $\hat{S}_p$ が核的であることを示す。
• Kac-Fourier双対性の一意性を用いて、この場合における3つのコアメニタリティ条件が一致することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ホップ $C^*$-代数におけるコアメニタリティの3つの提案定義は同値か？
• RQ2 ホップ $C^*$-代数のコアメニタリティは、フーリエ双対性枠組みにおけるその双対のアメニタリティとどのように関係するか？
• RQ3 不変平均の存在が、コアメニタリティの観点から特徴付けられるか？
• RQ4 ホップ $C^*$-代数のコアメニタリティは、その双対の核的性を示唆するか？
• RQ5 Kac-Fourier双対性設定において、$H_3$-コアメニタリティは $H_1$-および $H_2$-コアメニタリティと同値か？

主な発見

• Kac-Fourier双対性枠組みにおいて、$A_S$ 上の有界近似単位、点の分離および余単位的性、$M(A_S)$ との双対性という3つのコアメニタリティ定義は同値である。
• Kac-Fourier双対性 $(T,X,S)$ において、$T$ がコアメニタリティであることは、$S$ がアメニタリティであることと同値であり、アメニタリティとコアメニタリティの双対性が確立される。
• $S$ がアメニタリティならば、$A_S$ は右不変平均を持つ。これは、群論的古典的結果をホップ $C^*$-代数設定へと拡張する。
• コアメニタリティの $T$ は、$T$ が核的 $C^*$-代数であることを示す。これは、コアメニタリティ条件の同値性および双対の核的性を介して示される。
• Kac-Fourier双対性において、$T$ の $H_1$-、$H_2$-、および $H_3$-コアメニタリティはすべて同値であり、これは群の場合の一般化である。
• $S$ がアメニタリティならば、双対対象 $\hat{S}_p$ は核的である。これは、$S$ のアメニタリティおよびクローズド積の核的性から導かれる。