[論文レビュー] Amenable actions of discrete quantum groups on von Neumann algebras

Mohammad S. M. Moakhar|arXiv (Cornell University)|Mar 13, 2018

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ひとこと要約

本稿は、離散量子群のvon Neumann代数への作用におけるZimmerの可約性を導入し、非可換な設定へ古典的な可約性の概念を一般化する。作用が可約であることは、$ B(\ell^2(\mathbb{G})) \overline{\otimes} N $ から交叉積 $ N \ltimes_\alpha \mathbb{G} $ への $ \Delta \otimes \mathrm{id} $--equivariantな条件付き期待値が存在することと同値であり、Poisson境界やKac代数における双対性への応用を含む。

ABSTRACT

We introduce the notion of Zimmer amenability for actions of discrete quantum groups on von Neumann algebras. We prove generalizations of several fundamental results of the theory in the noncommutative case. In particular, we give a characterization of Zimmer amenability of an action $α:\Bbb G\curvearrowright N$ in terms of $\hat{\Bbb{G}}$-injectivity of the von Neumann algebra crossed product $N\ltimes_α\Bbb G$. As an application we show that the actions of any discrete quantum group on its Poisson boundaries are always amenable.

研究の動機と目的

• 古典的群から離散量子群のvon Neumann代数への作用へのZimmer可約性の概念を拡張すること。
• 条件付き期待値による可約作用のデラロシュの特徴づけの非可換版を確立すること。
• 離散量子群がそのPoisson境界に作用する場合、常に可約であることを証明すること。
• 離散量子群の可約性とその双対代数の $ \mathcal{T}(\ell^2(\mathbb{G})) $-加群の圏におけるインジェクティビティとの双対性を提供すること。
• Kac代数設定における作用の可約性と交叉積のインジェクティビティの同値性を一般化すること。

提案手法

• 作用 $ \alpha: \mathbb{G} \curvearrowright N $ に対して、$ \Delta \otimes \mathrm{id} $-equivariantな条件付き期待値 $ E_\alpha: \ell^\infty(\mathbb{G}) \overline{\otimes} N \to \alpha(N) $ の存在を用いてZimmer可約性を定義する。
• 双対量子群 $ \hat{\mathbb{G}} $ の誘導作用とブレッド・テンソル積を用いて、-equivariantな条件付き期待値を構成する。
• $ \hat{\Delta}^{\mathrm{op}} \otimes \mathrm{id} $-equivariantな条件付き期待値が $ B(\ell^2(\mathbb{G})) \overline{\otimes} N $ から $ N \ltimes_\alpha \mathbb{G} $ への存在と作用の可約性の同値性を確立する。
• Kac代数の場合、同値性条件を落とすことができ、$ B(\ell^2(\mathbb{G})) \overline{\otimes} N $ から $ N \ltimes_\alpha \mathbb{G} $ への条件付き期待値の存在に簡略化できる。
• この特徴づけを応用して、$ \mathbb{G} $ がそのPoisson境界 $ \mathcal{H}_\mu $ に作用する標準的作用が常に可約であることを示す。
• この枠組みを用いて、$ N \ltimes_\alpha \mathbb{G} $ が $ \hat{\mathbb{G}} $-インジェクティブであることと、$ N $ がインジェクティブかつ $ \alpha $ が可約であることの同値性を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 局所コンパクト群から離散量子群のvon Neumann代数への作用へのZimmer可約性の概念をどのように一般化できるか？
• RQ2 条件付き期待値を用いた可約作用のデラロシュの特徴づけの非可換版は何か？
• RQ3 離散量子群がそのPoisson境界に作用する場合、常に可約であるか？
• RQ4 Kac代数の場合に、可約作用の特徴づけにおける同値性条件を削除できるか？
• RQ5 離散量子群の可約性とその双対代数の $ \mathcal{T}(\ell^2(\mathbb{G})) $-加群の圏におけるインジェクティビティとの関係は何か？

主な発見

• 作用 $ \alpha: \mathbb{G} \curvearrowright N $ が可約であることと、$ B(\ell^2(\mathbb{G})) \overline{\otimes} N $ から $ N \ltimes_\alpha \mathbb{G} $ への $ \hat{\Delta}^{\mathrm{op}} \otimes \mathrm{id} $-equivariantな条件付き期待値が存在することは同値であり、Zimmerの結果の非可換版を確立する。
• 任意の離散量子群 $ \mathbb{G} $ が、状態 $ \mu \in \ell^1(\mathbb{G}) $ に対応するPoisson境界 $ \mathcal{H}_\mu $ に作用する標準的作用は、常に可約である。
• 離散Kac代数 $ \mathbb{G} $ に対して、$ \mathbb{G} $ の可約性は、$ L^\infty(\hat{\mathbb{G}}) $ への標準的作用の可約性と同値である。
• $ N \ltimes_\alpha \mathbb{G} $ が $ \hat{\mathbb{G}} $-インジェクティブであることと、$ N $ がインジェクティブかつ作用 $ \alpha $ が可約であることとは同値である。
• $ \mathbb{G} $ が $ \mathbb{C} $ に自明に作用する場合、可約であることと $ \mathbb{G} $ が可約であることとは同値であり、これは $ \mathcal{T}(\ell^2(\mathbb{G})) $-加群の圏における $ \mathbb{G} $ の可約性と $ L^\infty(\hat{\mathbb{G}}) $ のインジェクティビティとの双対性をもたらす。
• この結果は、Kac代数の場合のCrannとNeufangの双対性を一般化し、デラロシュの補題4.2を非可換設定へ拡張する。