[論文レビュー] Amiable mixed schemes for fourth order curl equations

Shuo Zhang|arXiv (Cornell University)|Jul 17, 2016

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 13被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、第4階曲率方程式のための安定的で低次の混合有限要素スキームを、補助変数を導入して問題を適切に定義された混合弱形式に再定式化することによって提案する。この手法により、$H^1$、$H({\rm curl})$、$L^2$ 有限要素を用いて最適収束率を保証する。正則性結果は凸多面体領域で確認され、標準的変分解析により収束性が証明されている。

ABSTRACT

In this paper, amiable mixed schemes are presented for two variants of fourth order curl equations. Specifically, mixed formulations for the problems are constructed, which are well-posed in Babuska-Brezzi's sense and admit stable discretizations by finite element spaces of low smoothness and of low degree. The regularities of the mixed formulations and thus equivalently the primal problems are established, and some finite elements examples are given which can exploit the regularity of the solutions to an optimal extent.

研究の動機と目的

• 第4階曲率方程式の2つの変種に対して、滑らかさ要件を最小限に抑えた安定的で適切に定義された混合弱形式を構築すること。
• 凸多面体領域における混合弱形式の正則性結果を確立し、元の問題との同値性を示すこと。
• 低次の、滑らかさが低い有限要素空間を用いて、解の正則性を最適に活用する有限要素離散化を設計すること。
• ネストドグリッド上での代数的および位相的埋め込みを保証することで、効率的かつスケーラブルな解法戦略を可能にすること。
• 今後の研究の基盤を提供するため、パラメータに頑健な離散化および固有値問題への応用を想定すること。

提案手法

• 第4階曲率問題を、2階方程式系に還元するための補助変数を導入し、混合弱形式を構築する。
• $L^2$、$H({\rm curl})$、$H^1$ 型有限要素空間を用いて、バブーシュカ＝ブレズィ条件を満たす適切に定義された混合変分形式を構築する。
• 凸多面体上でのベクトルポテンシャルおよびその回転の $H^2$ 正則性を確立することで、混合形式の正則性を証明する。
• ネデレック要素や分(piecewise)多項式を含む標準的有限要素を用いて、安定的かつ収束性を有する離散化を達成する。
• 双対性の議論と事前誤差推定を適用し、エネルギーノルムおよび $L^2$ ノルムにおける収束速度を導出する。
• 多重グリッド法の適合性を確保するため、ネストドグリッド上での有限要素空間の代数的および位相的埋め込みを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 滑らかさが低く、次数も低い有限要素を用いて、第4階曲率方程式のための安定的混合形式を構築できるか？
• RQ2 混合形式の解の正則性は何か？ また、凸多面体領域において、元の問題の解が $H^2$ 正則性を満たすことが確認されるか？
• RQ3 混合形式を、最適収束性と既存の preconditioner を用いた効率的解法が可能となるように離散化できるか？
• RQ4 解の回転に関する境界条件を、変分設定において適切に強制できるか？
• RQ5 今後の研究において、このスキームをパラメータに頑健な離散化や固有値問題に拡張できるか？

主な発見

• 問題の2つの変種（A）および（B）に対する混合形式は、$L^2$、$H({\rm curl})$、$H^1$ 空間を用いてバブーシュカ＝ブレズィ条件を満たし、安定的かつ適切に定義されている。
• 解 $\undertilde{u}$ 及びその回転 $\nabla\times\undertilde{u}$ は、凸多面体領域上で $H^2$ 正則性を示し、先行研究の仮定を裏付ける。
• 最適収束率が達成されている：混合変数 $\undertilde{\varphi}$ に対して $\|\undertilde{\varphi} - \undertilde{\varphi}_h\|_{0,\Omega} \leq Ch^2\|\undertilde{f}\|_{0,\Omega}$。
• 問題（B）において、$H({\rm curl})$ ノルムにおける収束率は $O(h)$ であり、$\undertilde{f} \in \undertilde{H}^1(\Omega)$ であれば $O(h^2)$ に改善される。
• 使用された有限要素空間（例：$N^2_{h0}$ および $\mathcal{L}^2_{h0}$）は、ネストドグリッド上での代数的および位相的埋め込みを可能とし、効率的な多重グリッドソルバーの利用を可能にする。
• このスキームは、標準的有限要素パッケージで実装可能であり、既存の最適 preconditioner とも互換性がある。