[論文レビュー] Ample families, multihomogeneous spectra, and algebraization of formal schemes

Holger Brenner, Stefan Schroeer|ArXiv.org|Dec 11, 2000

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 5被引用数 8

ひとこと要約

本稿では、有限型アーベル群によるグレーディングを持つ環に対して、多準同型スペクトルを導入し、古典的なProj構成を一般化する。除法的スキーム（あるアーベル群の可逆層のアーベル族をもつ）がこのようなスペクトルに埋め込まれることを示し、一般化されたグロタンディーク代数化定理を証明する：閉ファイバーに局所コホホロジー的条件を満たす十分な可逆層の族をもつ、固有な形式的スキームは代数化可能である。

ABSTRACT

Generalizing homogeneous spectra for rings graded by natural numbers, we introduce multihomogeneous spectra for rings graded by abelian groups. Such homogeneous spectra have the same completeness properties as their classical counterparts, but are possibly nonseparated. We relate them to ample families of invertible sheaves and simplicial toric varieties. As an application, we generalize Grothendieck's Algebraization Theorem and show that formal schemes with certain ample families are algebraizable.

研究の動機と目的

• 自然数のグレーディングを持つ環から、有限型アーベル群によるグレーディングを持つ環への古典的Proj構成の拡張を図り、多準同型スペクトルを導入すること。
• 除法的スキームを、可逆層の十分族による埋め込みによって多準同型スペクトルに埋め込むことの特徴づけ。
• グロタンディークの形式的スキームの代数化定理を一般化し、単一の十分な線分束ではなく、閉ファイバー上で適切な局所コホホロジー的制御を満たす可逆層の族への条件の弱体化を実現すること。
• 多準同型スペクトルと単体的トーリック多様体、およびコックスの同次座標環との関係を明らかにすること。
• グレイエルトおよびセールの基準を多グレーディング設定に拡張し、十分性のコホホロジー的および幾何的基準を提供すること。

提案手法

• 多準同型スペクトルを、$ f $ が同次的で十分な同次的除法子を持つときの $ D_+(f) = \operatorname{Spec}(S_{(f)}) $ のアフィン開集合の和集合として定義する。
• 多添字記法 $ \mathcal{L}^d = \mathcal{L}_1^{d_1} \otimes \cdots \otimes \mathcal{L}_r^{d_r} $ を用い、$ d \in \mathbb{N}^r $ に対して、グローバルセクションの多グレーディング環を定義する。
• 多準同型スペクトルが普遍的に閉じており、アフィン交叉を持つが、一般には分離的ではないことを確立する。
• スキームが除法的であることと、$ S = \bigoplus_{d \in \mathbb{N}^r} \Gamma(X, \mathcal{L}^d) $ に対して、多準同型スペクトル $ \operatorname{Proj}(S) $ への閉埋め込みをもつことは同値であることを証明する。
• コホホロジー的基準を適用する：十分な族が存在するための条件は、すべての $ d \in \mathbb{N}^r $ に対して $ H^1(X, \mathcal{L}^{-d}) = 0 $ が $ d \gg 0 $ のとき成り立つこと。これはセールの基準を一般化する。
• 代数化を構成する：$ \mathcal{I}^n \mathcal{K}^m / \mathcal{I}^{n+1} \mathcal{K}^m $ 上での $ H^1 $ の消滅を利用して、閉ファイバーからのセクションを上げ、$ \operatorname{Proj}(S) $ への適合する埋め込みを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 自然数のグレーディングを持つ環から、有限型アーベル群によるグレーディングを持つ環への古典的Proj構成の一般化は可能か？ そのようなスペクトルの幾何的性質は何か？
• RQ2 可逆層の族がスキームを除法的にするために必要な条件は何か？ また、コホホロジー的またはアフィン包としての特徴づけは可能か？
• RQ3 単一の十分な線分束ではなく、閉ファイバーに十分な可逆層の族をもつ場合、固有な形式的スキームが代数化可能となる条件は何か？
• RQ4 多準同型スペクトルは単体的トーリック多様体やコックスの同次座標環とどのように関係しているか？
• RQ5 グロタンディークの代数化定理は、閉ファイバー上で局所的十分性条件を満たす形式的線分束の族をもつ形式的スキームへと拡張可能か？

主な発見

• $ \mathbb{Z}^r $-グレーディングを持つ環の多準同型スペクトルは、普遍的に閉じており、アフィン交叉を持つが、一般には分離的ではない。
• スキームが除法的であることと、$ S $ が可逆層の十分族のグローバルセクションの多グレーディング環 $ S = \bigoplus_{d \in \mathbb{N}^r} \Gamma(X, \mathcal{L}^d) $ であるとき、多準同型スペクトル $ \operatorname{Proj}(S) $ への閉埋め込みをもつことは同値である。
• 著者らはグレイエルトの基準を一般化した：十分な族が存在するための必要十分条件は、スキームが準コンパクトかつ準分離的であり、$ f \in \Gamma(X, \mathcal{L}^d) $、$ d \in \mathbb{N}^r $ に対して $ X_f $ が位相の基底をなすことである。
• コホホロジー的基準が確立された：十分な族が存在するための必要十分条件は、すべての $ d \in \mathbb{N}^r $ に対して $ H^1(X, \mathcal{L}^{-d}) = 0 $ が $ d \gg 0 $ のとき成り立つこと。これはセールの基準を一般化する。
• 主な代数化結果として、固有な形式的スキーム $ \mathfrak{X} \to \operatorname{Spf}(R) $ が代数化可能であるための十分条件は、各閉点に対して、$ \mathcal{L}^d $ の忠実な部分加群 $ \mathcal{K} \subset \mathcal{L}^d $ が存在し、$ \operatorname{Proj}(\bigoplus_{m \geq 0} \mathcal{K}^m / \mathcal{I} \mathcal{K}^m) $ 上で $ \mathcal{O}_{P_0}(1) $ が十分であることである。
• 定理6.1の条件は、族を閉ファイバーに制限したときに十分であることを示しており、単一の十分な線分束のケースを超えて、グロタンディークの定理を拡張する。