[論文レビュー] Ample Group Action on AS-regular Algebras and Noncommutative Graded Isolated Singularities

Izuru Mori, Kenta Ueyama|arXiv (Cornell University)|Apr 20, 2014

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 24被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、AS正則代数における豊富な群作用の概念を導入し、固定部分代数 $ S^G $ の可換なグレーディングモジュールの導来圏と、斜群代数 $ S*G $ のベイリノス代数のモジュールの導来圏との間の導来同値を確立する。ノエター的で次元 $ \geq 2 $ のAS正則代数 $ S $ に対して、$ G $ が豊富で、すべての元のホモロジー的行列式が 1 であるとき、$ \mathcal{D}^b(\operatorname{tails} S^G) \cong \mathcal{D}^b(\operatorname{mod} \nabla S*G) $ が成り立つことを証明し、非可換 McKay 対応を一般化する。

ABSTRACT

In this paper, we introduce a notion of ampleness of a group action $G$ on a right noetherian graded algebra $A$, and show that it is strongly related to the notion of $A^G$ to be a graded isolated singularity introduced by the second author of this paper. Moreover, if $S$ is a noetherian AS-regular algebra and $G$ is a finite ample group acting on $S$, then we will show that ${\mathcal D}^b(\operatorname{tails} S^G)\cong {\cal D}^b(\operatorname{mod} abla S*G)$ where $ abla S$ is the Beilinson algebra of $S$. We will also explicitly calculate a quiver $Q_{S, G}$ such that ${\mathcal D}^b(\operatorname{tails} S^G)\cong {\mathcal D}^b(\operatorname{mod} kQ_{S, G})$ when $S$ is of dimension 2.

研究の動機と目的

• AS正則代数における豊富な群作用の概念を定義し、研究すること。
• 豊富な作用に対して、$ \mathcal{D}^b(\operatorname{tails} S^G) $ と $ \mathcal{D}^b(\operatorname{mod} \nabla S*G) $ の間の導来同値を確立すること。
• 群作用の豊富性を用いて、固定部分代数 $ S^G $ がグレーディング付き孤立特異点であることを特徴づけること。
• 次元 2 において、$ \mathcal{D}^b(\operatorname{tails} S^G) \cong \mathcal{D}^b(\operatorname{mod} kQ_{S,G}) $ を満たすクイバー $ Q_{S,G} $ を明示的に計算すること。

提案手法

• 有限群作用 $ G $ が右ノエター的グレーディング代数 $ A $ に対して豊富性の概念を導入する。
• すべての $ G $ の元が行列式 1 を持つホモロジー的行列式条件を用いて、豊富性を $ S^G $ がグレーディング付き孤立特異点であることと結びつける。
• $ S*G $ が $ kG $ 上のノエター的AS正則代数であることを証明し、ベイリノス代数の使用を可能にする。
• 代数 $ S $ のベイリノス代数 $ \nabla S $ を構成し、豊富性のもとで $ \mathcal{D}^b(\operatorname{tails} S^G) \cong \mathcal{D}^b(\operatorname{mod} \nabla S*G) $ を示す。
• 次元 2 において、BGP 反射と導来同値の技法を用いてクイバー $ Q_{S,G} $ を明示的に計算する。
• 非可換代数幾何学および導来圏の結果を応用し、既存のケース（ヴェロネーゼ代数および多項式不変量）を統一する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有限群作用 $ G $ がAS正則代数 $ S $ に対していつ豊富となるか、そしてこれは $ S^G $ がグレーディング付き孤立特異点であることにどのように関係するか。
• RQ2 $ \mathcal{D}^b(\operatorname{tails} S^G) $ が $ \mathcal{D}^b(\operatorname{mod} \nabla S*G) $ と同値となる条件は何か。
• RQ3 次元 2 において、$ \operatorname{tails} S^G $ の導来圏がクイバー代数のモジュールの導来圏として実現可能か。
• RQ4 豊富性条件は非可換代数幾何学における古典的 McKay 対応をどのように一般化するか。

主な発見

• ノエター的で次元 $ d \geq 2 $ のAS正則代数 $ S $ に対して、$ G $ が豊富であることと、$ S^G $ がグレーディング付き孤立特異点であり、かつ $ S*G \cong \operatorname{End}_{S^G}(S) $ が成り立つことは同値である。
• AS正則代数 $ S $ で、$ G $ が有限群で、すべての元のホモロジー的行列式が 1 であるとき、$ S*G $ は $ kG $ 上のノエター的AS正則代数である。
• 群 $ G $ が豊富であるとき、導来圏 $ \mathcal{D}^b(\operatorname{tails} S^G) $ は $ \mathcal{D}^b(\operatorname{mod} \nabla S*G) $ と導来同値である。
• 次元 2 において、$ S \not\cong k\langle x,y\rangle/(xy \pm yx) $ であれば、すべてのホモロジー的行列式 1 の有限群 $ G $ は $ S $ に対して豊富である。
• このような $ S $ と $ G $ に対して、$ \mathcal{D}^b(\operatorname{tails} S^G) \cong \mathcal{D}^b(\operatorname{mod} kQ_{S,G}) $ を満たすクイバー $ Q_{S,G} $ が明示的に構成される。
• 導来同値はヴェロネーゼの場合と多項式不変量の場合を一般化し、非可換 McKay 対応における既存の結果を統一する。