[論文レビュー] Ample Vector Bundles and Branched Coverings, II

Thomas Peternell, Andrew J. Sommese|ArXiv.org|Nov 14, 2002

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 12被引用数 10

ひとこと要約

本稿では、Fano 3-fold である $V_5$ のような Fano 3-fold 上の有限分岐被覆 $f: X \to Y$ に付随するベクトルバンドル $\mathcal{E}_f$ の豊富性および正性の性質を調査する。$\mathcal{E}_f$ が常に豊富であるとは限らない（$V_5$ 上で反例を構成）が、常に 1-豊富であり、すべての直線上で豊富である。さらに、$\mathcal{E}_f$ の豊富性がすべての直線での豊富性と同値であることを示し、硬い Lefschetz 定理を用いて $X$ の位相的性質とトップチェルン類 $c_{d-1}(\mathcal{E})$ の関係を確立する。

ABSTRACT

In continuation of our work in Comm. in Algebra, vol. 28 (2000), we study ramified coverings of projective manifolds, in particular over Fano manifolds and investigate positivity properties of the associated vector bundle. Moreover we study the topology of low degree coverings and the structure of the ramification divisor.

研究の動機と目的

• 有限分岐被覆 $f: X \to Y$ に付随するベクトルバンドル $\mathcal{E}_f$ が豊富であるかどうかを、特に $b_2(Y) = 1$ である Fano多様体 $Y$ の場合に調査すること。
• $\mathcal{E}_f$ の豊富性が特定の曲線、特に $Y$ 内の直線での挙動によって特徴づけられるかどうかを同定し、$\mathcal{E}_f$ が有理対称空間に対して豊富であるという予想を検証すること。
• 特に次数 3 の被覆について、位相的性質を一般化し、不規則性 $q(X)$ を $Y$ の位相的性質および $\mathcal{E}_f$ の構造と関連付けること。
• 分岐除集合 $R \subset X$ を解析し、$Y$ がグラスマンニアンまたは $V_5$ であるような幾何的条件下で $R$ の豊富性を証明すること。

提案手法

• 構造層の押し出しの余核の双対として $\mathcal{E}_f = [f_*\mathcal{O}_X / \mathcal{O}_Y]^*$ を構成する。
• グラスマンニアンの線形切断として得られる Fano 3-fold $V_5 \subset \mathrm{Gr}(2,5)$ の幾何を用い、$\mathcal{E}_f$ が豊富でない反例を構築する。
• $\mathrm{P}(\mathcal{E}_f)$ の構造と極小収縮を用いて、$\mathcal{E}_f$ が豊富であることと、$Y$ 内のすべての直線で豊富であることの同値性を示す基準を適用する。
• 特に $c_1(\mathcal{E}_f) = H$ および $c_2(\mathcal{E}_f)$ のチェーン類を計算し、直線での分解を用いて豊富性の非成立を検証する。
• 硬い Lefschetz 定理とトップチェルン類 $c_{d-1}(\mathcal{E}_f)$ を用いて、コホモロジー制限写像の上への性質などの位相的帰結を導出する。
• スティーン因子化と半豊富性を用い、$|\mathcal{O}_{\mathbb{P}(\mathcal{E})}(1)|$ によって定まる写像を研究し、そのファイバー次元を $\mathcal{E}_f$ の $k$-豊富性と関連付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $Y$ が $b_2(Y) = 1$ を満たす Fano多様体であるとき、有限被覆 $f: X \to Y$ に付随するベクトルバンドル $\mathcal{E}_f$ は常に豊富であるか？
• RQ2 $\mathcal{E}_f$ の豊富性は、特に $Y = V_5$ の場合に $Y$ 内の直線への制限によって特徴づけられるか？
• RQ3 低次の被覆に対して、トップチェルン類 $c_{d-1}(\mathcal{E}_f)$ と硬い Lefschetz 定理の関係は何か？
• RQ4 $Y$ がグラスマンニアンまたは $V_5$ であるとき、分岐除集合 $R \subset X$ が豊富である条件は何か？
• RQ5 微分幾何的または代数的意味での $c_{d-1}(\mathcal{E}_f)$ の正性が、$\mathcal{E}_f$ に対して硬い Lefschetz 性質を意味するか？

主な発見

• ベクトルバンドル $\mathcal{E}_f$ は常に豊富ではない：Fano 3-fold $V_5$ 上の3重被覆に対して、$\mathcal{E}_f$ が直線上で豊富でないが、分岐集合外ではネフのままである反例を構成した。
• バンドル $\mathcal{E}_f$ は常に 1-豊富である：$\mathcal{O}_{\mathbb{P}(\mathcal{E}_f)}(1)$ は半豊富であり、関連写像のファイバー次元が高々 1 次元である。
• $\mathcal{E}_f$ の豊富性は、$Y$ 内のすべての直線での豊富性と同値である：$V_5$ 上の被覆では、$\mathcal{E}_f$ が豊富であることと、すべての直線で豊富であることとは同値である。
• $Y$ が単連結で $h^{1,1}(Y) = 1$ である 3 次被覆に対して、不規則性は $q(X) = q(Y) = 0$ を満たす。単連結性がなくても、$f$ がエタールでない限り成り立つ。
• $Y$ がグラスマンニアンのとき、分岐除集合 $R \subset X$ は豊富である。$Y = V_5$ の場合、例 2.1 の反例からベースチェンジで得られる被覆を除き、$R$ は豊富である。この例外的ケースでは $R$ はネフだが豊富ではない。
• トップチェルン類 $c_{d-1}(\mathcal{E}_f)$ はコホモロジーの上への性質を決定的に支配する：$c_{d-1}(\mathcal{E}_f)$ が適切な意味で正であれば、硬い Lefschetz 性質が保証され、$X$ の位相的性質が制御される。