[論文レビュー] An a posteriori analysis of some inconsistent, nonconforming Galerkin methods approximating elliptic problems

Tristan Pryer|arXiv (Cornell University)|May 16, 2015

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 19被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、楕円問題に不一致で非一致なガラーキン法を適用するためのa posteriori誤差解析フレームワークを構築し、再構成作用素を用いて信頼性と有効性に優れた誤差推定器を導出する。不一致—例えば数値積分による近似や安定化項—がa posterioriに制御可能であることが示され、変分的でない、または滑らかでない問題に対しても、ロバストな適応型有限要素法の構築が可能になる。

ABSTRACT

In this work we present an a posteriori analysis for classes of inconsistent, nonconforming schemes approximating elliptic problems. We show the estimates coincide with existing ones for interior penalty type discontinuous Galerkin approximations of the Laplacian and give new estimates for inconsistent discontinuous Galerkin approximation schemes of elliptic problems under quadrature approximation. We also examine the effect of inconsistencies on the a posteriori analysis of schemes applied to an unbalanced problem.

研究の動機と目的

• 楕円問題に不一致で非一致なガラーキンスキームを適用するための統一的a posteriori誤差推定フレームワークの構築。
• 特に数値積分近似や安定化に起因するさまざまな不一致がa posteriori誤差制御に与える影響の分析。
• 変分的でない、非対称な楕円問題への解析の拡張を行い、H²-ロバストなa posteriori境界の導出。
• 適応型アルゴリズムにおける推定器のロバスト性の検証、特に初期の細分化段階で不一致が誤差を支配する場合の性能。
• 不一致離散化下でも、データの振動項を除き、推定器が信頼性と有効性を保つことの証明。

提案手法

• 標準的なa posteriori解析にインspiredされた再構成作用素のアプローチを採用し、安定性の議論に必要な滑らかさを確保する。
• 不一致の影響を定量化するため、ストラングの補題に類似した抽象的a posteriori推定式を構築する。
• 誤差推定器を、内部残留項、ジャンプ項、数値積分や安定化に起因する不一致項に分割する。
• 再構成作用素の存在（計算可能である必要はない）を仮定して境界を導出し、明示的な再構成を必要としない解析を可能にする。
• 標準的な内部ペナルティ不連続ガラーキン法および数値積分不一致スキームにこのフレームワークを適用し、理論通りの収束率が得られることを示す。
• 誤差寄与要因（不一致項を含む）に基づいてメッシュを細分化する、a posteriori推定器を駆動源とする適応型アルゴリズムを採用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 不一致で非一致なガラーキン法に対して、形式上の不一致にかかわらず信頼性と有効性を保つa posteriori誤差推定器を構築できるか？
• RQ2 双線形形式における数値積分近似が、楕円問題のa posteriori誤差推定器の信頼性と有効性にどのように影響するか？
• RQ3 不一致項はどの程度a posterioriで制御可能であり、適応的細分化においていつ誤差推定器を支配するようになるか？
• RQ4 提案されたフレームワークは、H²正則性を有する変分的でない非対称楕円問題を扱えるか？その場合の誤差境界はどのようなものか？
• RQ5 不一致が顕著な場合、提案された推定器を駆動源とする適応型アルゴリズムは、均一な細分化と比較してどのように性能を示すか？

主な発見

• 不一致不連続ガラーキンスキームのa posteriori推定器は、標準的な内部ペナルティ法の既存推定と一致し、フレームワークの妥当性が裏付けられる。
• 数値積分不一致スキームでは、推定器が計算可能と非計算可能な成分に分解され、粗いメッシュレベルでは不一致項が支配的になる。
• 適応型アルゴリズムにおいて、推定器は不一致の高い領域および解の滑らかでない領域へのメッシュ細分化を的確に誘導し、H²ノルムにおいてO(N⁻¹/²)の収束率を達成する。
• 正確な解が滑らかでも拡散係数が強く振動する場合（例：テスト3）、不一致項が初期段階で推定器を支配し、高振動領域に密な細分化が生じる。
• 滑らかでない解（例：H²に属するがH³に属さない）に対しては、推定器が解の不規則性と不一致効果の両方を効果的に捉え、特異領域への細分化を適切に誘導する。
• 数倳的実験により、推定器の漸近的収束率が、定理4.8および4.9で予測された真の誤差率と一致することが確認された。