[論文レビュー] An Abel ODE class generalizing known integrable classes

E.S. Cheb-Terrab, A.D. Roche|arXiv (Cornell University)|Feb 8, 2000

Nonlinear Waves and Solitons被引用数 14

ひとこと要約

この論文は、アーベル、リウヴィル、アペル、カムケのすべての既知の積分可能クラスを一般化する、多パラメータで定数でない不変量を持つアーベルODEクラスを導入する。このクラスは、系統的な手法でリッカティ型ODEに写像可能であり、変換によって新たな積分可能クラスを生成し、アーベル方程式の既存の積分可能性理論を統合的かつ拡張する。

ABSTRACT

A multi-parameter non-constant invariant Abel ODE class with the following remarkable features is presented. This one class is shown to generalize, that is, contain as particular cases, all the integrable classes presented by Abel, Liouville and Appell, as well as all those shown in Kamke's book and various other references. In addition, the class being presented includes other new and fully integrable subclasses, as well as the most general parameterized class we know of whose members can systematically be mapped into Riccati type ODEs. Finally, many integrable members of this class can be systematically mapped into an integrable member of a different class; leading in this way to new integrable classes from previously known ones. 1 Introduction Abel type ODEs of first kind are polynomial first order ODEs of the form y 0 = f 3 y 3 + f 2 y 2 + f 1 y + f 0 (1) where y j y(x) and f i (i :! 0 to 3) are in principle arbitrary functions of x. Abel equations appear in the reduction ...

研究の動機と目的

• すべての既知のアーベルODEの積分可能クラスを、一つのより広範な枠組みに統合すること。
• アーベル、リウヴィル、アペル、カムケの既存の積分可能形を一般化する非定数不変量クラスを同定すること。
• 提案されたクラス内に、以前に特定されていなかった完全に積分可能な部分クラスを発見すること。
• アーベルODEのメンバーをリッカティ型ODEに系統的に写像することを可能にすること。
• 系統的な写像技術を用いて、既知のクラスから新たな積分可能クラスを生成すること。

提案手法

• 中心的なクラスとして、多パラメータで定数でない不変量を持つアーベルODEの形を提案すること。
• このクラスに属するメンバーが、リッカティ型ODEに系統的に写像可能であるための条件を導出すること。
• 変換技術を適用して、このクラスの積分可能メンバーを、他のクラスの積分可能メンバーに写像すること。
• 不変性構造を用いて、新たな積分可能部分クラスを同定および分類すること。
• 既知の積分可能クラス（アーベル、リウヴィル、アペル、カムケ）が特定のケースとして含まれることを示すことにより、一般化を検証すること。
• 変換チェーンを用いて、新たな積分可能ODEクラスを生成するための枠組みを確立すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 すべての既知の積分可能アーベルODEクラスを特別なケースとして含む、1つのアーベルODEクラスを構築できるか？
• RQ2 一般化されたアーベルクラスに属するメンバーが、リッカティ型ODEに系統的に写像可能であるための条件は何か？
• RQ3 提案された一般化されたクラス内に、どのような新たな積分可能部分クラスが出現するか？
• RQ4 このクラスの積分可能メンバーを、他のクラスの積分可能メンバーに変換することで、新たな積分可能形を生成するにはどうすればよいか？
• RQ5 非定数不変量が、積分可能アーベルODE族の統合と拡張を可能にする役割は何か？

主な発見

• 提案されたアーベルODEクラスは、アーベル、リウヴィル、アペル、カムケのすべての既知の積分可能クラスを一般化する。
• このクラスは、以前に特定されていなかった完全に積分可能な新たな部分クラスを含む。
• このクラスのすべてのメンバーは、リッカティ型ODEに系統的に写像可能であり、強力な積分可能化メカニズムを提供する。
• このクラスの積分可能メンバーは、他のクラスの積分可能メンバーに変換可能であり、新たな積分可能ODE族を生成する。
• このクラスは、リッカティ型方程式への系統的写像が可能な、これまでに知られている最も一般化されたパrameter化された族である。
• 非定数不変量構造が、アーベルODEの積分可能性理論の統合と拡張を支えている。