[論文レビュー] An abstract approach to domain perturbation for parabolic equations and parabolic variational inequalities

Parinya Sa Ngiamsunthorn|arXiv (Cornell University)|Sep 15, 2011

Advanced Mathematical Modeling in Engineering参考文献 15被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、モスコ収束を用いて非自己随伴放物型方程式および変分不等式におけるドメインの摂動を分析するための抽象的枠組みを確立する。放物型問題における関数空間のモスコ収束が、対応する楕円型問題におけるそれと同値であることを証明し、滑らかなドメインを仮定せず、座標変換を用いずにドメイン変更に伴う解の収束を可能にする。この枠組みは、ディリクレ問題およびノイマン問題、および放物型変分不等式への応用を含む。

ABSTRACT

We study the behaviour of solutions of linear non-autonomous parabolic equations subject to Dirichlet or Neumann boundary conditions under perturbation of the domain. We prove that Mosco convergence of function spaces for non-autonomous parabolic problems is equivalent to Mosco convergence of function spaces for the corresponding elliptic problems. As a consequence, we obtain convergence of solutions of non-autonomous parabolic equations under domain perturbation by variational methods using the same characterisation of domains as in elliptic case. A similar technique can be applied to obtain convergence of weak solutions of parabolic variational inequalities when the underlying convex set is perturbed.

研究の動機と目的

• ドメイン摂動下における非自己随伴放物型方程式の解の収束を研究するための一般的な抽象的枠組みを確立すること。
• 標準的な座標変換手法が失敗する、ドッキング型ドメインや亀裂を有するドメインなどの特異的ドメイン摂動の課題に対処すること。
• 楕円型問題から放物型問題へのモスコ収束理論の拡張を行い、関数空間における放物型と楕円型のモスコ収束の同値性を証明すること。
• 基礎となる凸集合が摂動される場合の放物型変分不等式の弱解の収束を証明すること。
• ドメインの正則性が欠如しても適用可能な統一的変分法を、ディリクレおよびノイマン境界条件の両方に適用可能にする。

提案手法

• ボッホナー＝ソボレフ空間 $ W((0,T),V,V') $ およびボッホナー＝ルベーグ空間 $ L^2((0,T),V) $ における抽象的進化形で非自己随伴放物型方程式を定式化する。
• バナッハ空間内の閉凸部分集合のモスコ収束を応用し、ドメイン摂動下での解の収束を特徴付ける。
• 定理3.4を用いて、放物型問題における関数空間のモスコ収束とその対応する楕円型問題におけるそれとの同値性を証明する。
• 変分法および強制的推定を用いて、$ L^2((0,T),V) $ における解の弱収束および強収束を導出する。
• 時間正則化（例：$ ho u' + u = u $）を用いて近似解 $ u_{ ho,n} $ を構成し、モスコ条件 (M1') を満たし、極限に移行する。
• コンパクト性および弱下界半連続性の議論を用いて、データ収束およびドメインのモスコ収束の仮定の下で解の収束を示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ドメインが摂動を受ける場合、非自己随伴放物型方程式の解がどのような条件下で収束するか？
• RQ2 関数空間のモスコ収束をどのように用いて、放物型問題における解の収束を特徴付けることができるか？
• RQ3 放物型と楕円型問題におけるモスコ収束の同値性は、ディリクレおよびノイマン境界条件の両方で成立するか？
• RQ4 同じ抽象的枠組みを、摂動された凸集合を有する放物型変分不等式へ拡張可能か？
• RQ5 特に滑らかな拡張が存在しない場合、ノイマン問題における解の収束に必要なドメインの最小正則性仮定は何か？

主な発見

• 定理3.4により、非自己随伴放物型問題における関数空間のモスコ収束が、対応する楕円型問題におけるそれと同値であることが示された。
• ドメインのモスコ収束およびデータ収束の下で、ディリクレまたはノイマン境界条件を有する非自己随伴放物型方程式の解は、$ L^2((0,T),V) $ で弱収束する。
• データ $ f_n o f $ が $ L^2((0,T),V') $ で、初期値 $ u_{0,n} ightharpoonup u_0 $ が $ V $ で、かつ $ u_{0,n} o u_0 $ が $ H $ で成り立つ場合、ドメインのモスコ収束のもとで、$ L^2((0,T),V) $ における解の強収束が達成される。
• この手法は、ドメインが不規則で $ H^1( heta_n) $ から $ H^1( heta) $ への滑らかな拡張が存在しない場合でも、ディリクレ問題およびノイマン問題に適用可能である。
• この枠組みは、放物型変分不等式へも拡張可能である：凸集合 $ K_n $ がモスコの意味で $ K $ に収束するとき、弱解は収束する。
• [8, Lemma 2.1] のコンパクト性結果はノイマンの場合に失敗するため、それらに依存しないように、抽象的モスコ収束と正則化を用いた証明技法が採用された。