[論文レビュー] An abstract approach to Glivenko's theorem

Darllan Conceição Pinto, Hugo Luiz Mariano|arXiv (Cornell University)|Dec 11, 2016

Advanced Algebra and Logic参考文献 4被引用数 7

ひとこと要約

この論文は、機関理論を用いてグリヴェンコの定理の抽象的定式化を導入し、代数的可解性とリンデンバウム可解性論理の間の保存的翻訳をグリヴェンコ文脈を通じて確立する。各グリヴェンコ文脈が、対応する機関の間の機関準同型を誘導することを証明し、古典的グリヴェンコの定理を古典論理から直感的論理への一般化として特殊ケースとして得る。

ABSTRACT

The aim of this work is to provide a special kind of conservative translation between abstract logics, namely an extit{abstract Glivenko's theorem}. Firstly we define institutions on the categories of logic, algebraizable logics, and Lindenbaum algebraizable logic. In the sequel, we introduce the notion os Glivenko's context relating two algebraizable logics (respectively, Lindenbaum algebraizable logics) and we prove that for each Glivenko's context can be associated an institutions morphism between the corresponding logical institutions. As a consequence of the existence of such institutions morphisms, we have established abstract versions of Glivenko's theorem between those algebraizable logics (Lindenbaum algebraizable logics), generalizing the results presented in \cite{To}. In particular, considering the institutions of classical logic and of intuitionistic logic, we build a Glivenko's context and thus an abstract Glivenko's theorem that is exactly the traditional Glivenko's theorem. Finally we present a category of algebraizable logic with Glivenko's context as morphisms. We can interpret the results of this work as an evidence of the (virtually unexplored) relevance of institution theory in the study of propositional logic.

研究の動機と目的

• 機関理論を用いてグリヴェンコの定理の構造的性質を抽象化することで、古典論理を超えた一般化を図ること。
• グリヴェンコ文脈という概念を通じて、代数的可解性論理間の保存的翻訳メカニズムを形式化すること。
• このようなグリヴェンコ文脈が機関準同型を誘導することを示し、抽象的論理のカテゴリーとモデル理論的整合性を結びつけること。
• グリヴェンコ文脈を射とする代数的可解性論理の圏を構成し、論理的翻訳における圏論的推論を可能にすること。
• 古典的グリヴェンコの定理が、古典論理と直感的論理に適用した際、この抽象的枠組みの特殊ケースとして自然に得られることを示すこと。

提案手法

• 抽象的論理、代数的可解性論理、リンデンバウム可解性論理のための機関を定義し、満たし関係を伴う数学的対象として論理的体系を形式化すること。
• 2つの代数的可解性論理間のグリヴェンコ文脈を、そのフィルター格と翻訳の間の特定の整合性条件を満たすペア (h: a → a', ρ) として導入すること。
• すべてのグリヴェンコ文脈が、対応する論理的機関間で整合性を保ち、満たし関係と表記の整合性を維持するwell-definedな機関準同型を誘導することを証明すること。
• グリヴェンコ文脈を射とする圏 $ G ext{Alg}_f $ を構成し、恒等射と結合が適切に定義されていることを示すこと。
• 同型写像 $ \varepsilon_a $ を用いて、$ G ext{Alg}_f $ から機関の圏へのファンクターを定義し、論理的性質の体系的翻訳を可能にすること。
• 古典的グリヴェンコの定理（古典論理の論理式を二重否定を用いて直感的論理に翻訳するもの）が、この抽象的枠組みの具体的な例として回復されることを示すこと。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 抽象代数論理学を用いて、グリヴェンコの定理を古典論理と直感的論理を超えて一般化する方法は何か？
• RQ2 代数的可解性論理間の保存的翻訳の背後にある圏的構造は何か？ そして、それはどのように形式化できるか？
• RQ3 機関理論は、グリヴェンコ文脈によって誘導される準同型を通じて、異なる論理的体系を統一的枠組みで表現・関連付けるのに適しているか？
• RQ4 フィルター格とその準同型は、グリヴェンコ文脈の整合性条件を定義する上で果たす役割は何か？
• RQ5 抽象的グリヴェンコ構成は、どのようにして古典的グリヴェンコの定理を特殊ケースとして回復するのか？

主な発見

• 代数的可解性論理間の各グリヴェンコ文脈は、論理的満たしと翻訳の整合性を保証するwell-definedな機関準同型を誘導する。
• グリヴェンコ文脈を射とする圏 $ G ext{Alg}_f $ の構成は妥当であり、恒等射と結合の結合性が証明されている。
• 古典的グリヴェンコの定理（古典論理の論理式を二重否定を用いて直感的論理に翻訳するもの）は、この抽象的枠組みの特殊ケースとして回復される。
• 各 $ \varepsilon_a $ の選択に対して、ファンクター $ \mathcal{G}_\varepsilon $ が $ G ext{Alg}_f $ から機関の圏へと写像し、構造的関係を保存する。
• リンデンバウム可解性論理に対しても同様の構成が可能であり、部分圏 $ G ext{Alg}^c_f $ と対応するファンクターが得られる。
• この枠組みは、機関理論と抽象代数論理学との間に深い関係があることを示唆しており、$ \pi $-機関やフィルターの圏との随伴関係への応用の可能性を秘めている。