[論文レビュー] An abstract characterization of unital operator spaces

Xujian Huang, Chi–Keung Ng|ArXiv.org|May 16, 2008

Advanced Operator Algebra Research参考文献 20被引用数 9

ひとこと要約

本稿では、完全有界ノルム量 $ n_{\rm cb}(\mathbf{V},u) $ を用いて、単位的作用素空間の抽象的特徴付けを提示する。$ n_{\rm cb}(\mathbf{V},u) = 1 $ であることは、$ \mathbf{V} $ からある $ \mathcal{L}(H) $ への完全等長埋め込みが存在して $ u $ を恒等作用素に写像することと同値である。この結果により、作用素系の抽象的特徴付けが可能となり、単位的作用素空間の真の完全 $ M $-極大イデアルによる商空間が再び単位的であることが示され、作用素系へと拡張される。

ABSTRACT

In this article, we give an abstract characterization of the ``identity'' of an operator space $V$ by looking at a quantity $n_{cb}(V,u)$ which is defined in analogue to a well-known quantity in Banach space theory. More precisely, we show that there exists a complete isometry from $V$ to some $\mathcal{L}(H)$ sending $u$ to ${ m id}_H$ if and only if $n_{cb}(V,u) =1$. We will use it to give an abstract characterization of operator systems. Moreover, we will show that if $V$ is a unital operator space and $W$ is a proper complete $M$-ideal, then $V/W$ is also a unital operator space. As a consequece, the quotient of an operator system by a proper complete $M$-ideal is again an operator system. In the appendix, we will also give an abstract characterisation of ``non-unital operator systems'' using an idea arose from the definition of $n_{cb}(V,u)$.

研究の動機と目的

• 作用素空間における「単位元」の抽象的特徴付けを、バナッハ空間の幾何的単位元に類似した完全有界ノルム量を用いて行う。
• 作用素空間が与えられた要素を恒等作用素に写す完全等長埋め込みを $ \mathcal{L}(H) $ に持てるための基準を確立する。
• 単位的作用素空間の特徴付けを作用素系へと拡張し、真の完全 $ M $-極大イデアルによる単位的作用素空間の商空間が再び単位的であることを示す。
• $ n_{\rm cb} $ 量の修正版を用いて、非単位的作用素系の抽象的特徴付けを提供する。

提案手法

• 完全有界関数 $ \varphi $ で $ \|\varphi\|_{\rm cb} \leq 1 $ かつ $ \varphi(u) = 1 $ を満たすものについて、$ \gamma^u_{\rm cb}(x) $ を $ \|\varphi(x)\| $ の上界として定義し、$ M_k(\mathbf{V}) $ の単位球上で $ \gamma^u_{\rm cb}(x) $ の下界を $ n_{\rm cb}(\mathbf{V},u) $ と定める。
• 完全有界写像および双対性の性質を用いて、$ n_{\rm cb}(\mathbf{V},u) = 1 $ であることと、$ \mathbf{V} $ からある $ \mathcal{L}(H) $ への $ u $ を $ \mathrm{id}_H $ に写す完全等長写像が存在することとが同値であることを証明する。
• $ n_{\rm cb}(\mathbf{V},u) $ を用いて作用素系を抽象的に特徴付ける：作用素系とは、$ n_{\rm cb}(\mathbf{V},u) = 1 $ を満たす特別な元 $ u $ を持つ作用素空間である。
• $ \mathbf{V} $ が単位的作用素空間であり、$ \mathbf{W} $ が $ \mathbf{V} $ の真の完全 $ M $-極大イデアルであるとき、$ \mathbf{V}/\mathbf{W} $ は $ \mathbf{V} $ の単位の像を単位として持つ単位的構造を誘導する。
• $ M_n(\mathbf{V}) $ 上に錐構造を定義することで、非単位的作用素系のための $ n_{\rm cb}^+(\mathbf{V}) $ を導入し、$ n_{\rm cb}^+(\mathbf{V}) = 1 $ かつすべての $ n \in \mathbb{N} $ に対して $ M_n(\mathbf{V})_+ = \mathbf{K}_n $ が成り立つことにより、抽象的非単位的作用素系を特徴付ける。
• 行列ノルム付き空間の正則化および双対性の議論を用いて、$ \mathcal{S}_n(\mathbf{V};u) $ が $ \mathcal{L}(H) $ への完全等長写像の存在と関係することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 作用素空間 $ \mathbf{V} $ のノルムが 1 である与えられた要素 $ u \in \mathbf{V} $ が、$ \mathcal{L}(H) $ への完全等長写像のもとで恒等作用素に対応するのはいつか？
• RQ2 作用素系の抽象的特徴付けは、完全有界ノルム量 $ n_{\rm cb}(\mathbf{V},u) $ を用いてどのように行えるか？
• RQ3 単位的作用素空間を真の完全 $ M $-極大イデアルで割った商空間が再び単位的であるための条件は何か？
• RQ4 非単位的作用素系は $ n_{\rm cb}(\mathbf{V},u) $ の変種を用いて抽象的に特徴付けられるか？ もしそうなら、必要な十分な条件は何か？
• RQ5 $ n_{\rm cb}(\mathbf{V},u) $ は、古典的なバナッハ空間における幾何的単位元の概念とどのように関係するか？

主な発見

• $ n_{\rm cb}(\mathbf{V},u) = 1 $ であることと、$ \mathbf{V} $ からある $ \mathcal{L}(H) $ への $ u $ を $ \mathrm{id}_H $ に写す完全等長写像が存在することは同値であり、作用素空間における単位元の完全な抽象的特徴付けを提供する。
• 作用素系は、$ n_{\rm cb}(\mathbf{V},u) = 1 $ を満たす特別な元 $ u $ を持つ作用素空間として、$ \mathcal{L}(H) $ における具体的実現とは独立に抽象的に特徴付けられる。
• $ \mathbf{V} $ が単位的作用素空間であり、$ \mathbf{W} $ が $ \mathbf{V} $ の真の完全 $ M $-極大イデアルであるとき、商空間 $ \mathbf{V}/\mathbf{W} $ も単位的作用素空間となり、$ \mathbf{V} $ の単位の像が商空間の単位となる。
• 作用素系を真の完全 $ M $-極大イデアルで割った商空間も再び作用素系である。これは、商空間が元の単位の像を通じて単位的構造を誘導するためである。
• 非単位的作用素系については、$ M_n(\mathbf{V}) $ 上の錐構造を用いて、$ n_{\rm cb}^+(\mathbf{V}) = 1 $ かつすべての $ n \in \mathbb{N} $ に対して $ M_n(\mathbf{V})_+ = \mathbf{K}_n $ が成り立つことにより、抽象的非単位的作用素系が特徴付けられる。
• $ \Psi: \mathbf{Z} \to \mathbf{V} $ をノルム 1 の位相的単射とするとき、$ n_{\rm cb}(\mathbf{V},u) \leq \|\Psi^{-1}\| \cdot n_{\rm cb}(\mathbf{Z},u) $ が成り立つことが示され、この量 $ n_{\rm cb}(\mathbf{V},u) $ がこのような写像の下で安定であることが示される。