[論文レビュー] An Adapted Frame on Indicatrix Bundle of a Finsler Manifold and its Geometric Properties

Hassan Attarchi, M. M. Rezaii|arXiv (Cornell University)|Jun 23, 2011

Advanced Differential Geometry Research参考文献 9被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、フィンスler多様体の指標束に適応されたフレームを導入し、接バンドル内の自然なfoliationの解析を簡略化する。指標束に持ち上げられたササキ計量と自然なほぼ複素構造を備えた場合、それがササキアン多様体でないことが示され、フィンスラーゲオメトリにおける幾何的制約が解消される。

ABSTRACT

In this paper, a frame is introduced on tangent bundle of a Finsler manifold in a manner that it makes some simplicity to study the properties of the natural foliations in tangent bundle. Moreover, we show that the indicatrix bundle of a Finsler manifold with lifted sasaki metric and natural almost complex structure on tangent bundle cannot be a sasakian manifold.

研究の動機と目的

• フィンスラーマニフォールドの接バンドル内の自然なfoliationの研究を簡略化すること。
• 特に持ち上げられたササキ計量とほぼ複素構造を含む、指標束上の幾何構造を分析すること。
• 持ち上げられたササキ計量と自然なほぼ複素構造を備えた場合、指標束がササキアン構造を有するかどうかを特定すること。
• フィンスラーマニフォールドの接バンドルにおける幾何的解析のためのフレームに基づく枠組みを提供すること。

提案手法

• 幾何的構造の解析を容易にするために、フィンスラーマニフォールドの接バンドル上に適応されたフレームを構築する。
• 指標束に持ち上げられたササキ計量を適用し、全空間にリーマン構造を定義する。
• 接バンドル上の自然なほぼ複素構造を指標束に拡張し、複素幾何的解析を可能にする。
• ほぼ複素構造の可積分性および曲率性質を検討し、ササキアン適合性を評価する。
• 適応されたフレームを用いて幾何的不変量とテンソル成分を計算し、導出を簡略化する。
• 指標束がササキアンであると仮定することで矛盾を導き出し、主要な結果に至る。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 持ち上げられたササキ計量と自然なほぼ複素構造を備えたフィンスラーマニフォールドの指標束が、ササキアン構造を有することができるか？
• RQ2 適応されたフレームは、フィンスラーマニフォールドの接バンドル内のfoliationの解析をどのように簡略化するか？
• RQ3 指標束がササキアンでない原因となる曲率および可積分性の条件は何か？
• RQ4 接バンドル上の幾何的構造は、指標束上でのササキアン幾何の可能性をどのように制限するか？
• RQ5 適応されたフレームは、フィンスラーゲオメトリにおけるササキアン構造の障害をどのように明らかにするか？

主な発見

• 適応されたフレームは、フィンスラーマニフォールドの接バンドル内の自然なfoliationの解析を著しく簡略化する。
• 持ち上げられたササキ計量と自然なほぼ複素構造を備えた指標束は、ササキアン多様体にはなり得ない。
• これらの条件下でほぼ複素構造が可積分でないことが、ササキアン構造の障害となる。
• 曲率および持ち上げられた計量と複素構造のテンソル的不整合性が、幾何的障害を生じる。
• フレームに基づくアプローチにより、与えられた幾何的条件下で、指標束上に一貫したササキアン構造が存在しないことが明らかになった。
• この結果により、フィンスラーマニフォールドの接バンドルの文脈におけるササキアン幾何の存在に根本的な制限が示された。