[論文レビュー] An adaptive aggregation based domain decomposition multilevel method for the lattice wilson dirac operator: multilevel results

Andreas Frommer, Karsten Kahl+3 more|arXiv (Cornell University)|Jul 23, 2013

Matrix Theory and Algorithms参考文献 14被引用数 12

ひとこと要約

本稿では、格子QCDにおける格子ウィルソンディラック作用素に対する、適応的集合によるドメイン分解型代数的多重グリッド法（DD-α AMG）の多層構造を提案する。2レベルのDD-α AMGソルバを、適応的補間および乗法的スワーツ平滑化を用いて真の多層フレームワークに拡張することで、標準的なクリロフ法に対して700倍の高速化と、2レベル版に対して1.7倍の性能向上を達成した。また、全レベルで強力なスケーリング性能とγ₅対称性の維持が保証された。

ABSTRACT

In lattice QCD computations a substantial amount of work is spent in solving linear systems arising in Wilson's discretization of the Dirac equations. We show first numerical results of the extension of the two-level DD-αAMG method to a true multilevel method based on our parallel MPI-C implementation. Using additional levels pays off, allowing to cut down the core minutes spent on one system solve by a factor of approximately 700 compared to standard Krylov subspace methods and yielding another speed-up of a factor of 1.7 over the two-level approach.

研究の動機と目的

• ウィルソンディラック作用素を解くために、2レベルの適応的集合に基づくドメイン分解型代数的多重グリッド法（DD-α AMG）を真の多層フレームワークに拡張すること。
• ウィルソンフェルミオン離散化から生じる大規模な線形系の解法時間を短縮することで、格子QCDシミュレーションの計算効率を向上させること。
• 対称性を保つガリルキンの粗グリッド移行を用いて、全粗グリッドレベルでディラック作用素のγ₅対称性を維持すること。
• MPIと適応的セットアップルーチンを用いて、大規模並列アーキテクチャでもスケーラブルな性能を実現すること。
• 多重グリッド階層に追加のレベルを追加することで、2レベル手法を上回る測定可能な性能向上が得られるかどうかを調査すること。

提案手法

• 本手法は、全レベルで乗法的スワーツ（SAP）平滑化を用いるVサイクル多重グリッド戦略を採用しており、良好なデータ局所性と強いスケーリング性能を確保する。
• 適応的集合を用いて、スピン1,2およびスピン3,4の自由度を別々にグループ化する補間演算子 $ P_ u $ を構築し、γ₅対称性を保持する。
• 粗グリッド作用素はガリルキン射影により構成される：$ D_{ u+1} = P_ u^ op D_ u P_ u $、これにより対称性の保持と一貫した誤差伝播が保証される。
• 逆反復法とブートストラップ手法を組み合わせた新規セットアップルーチンを用いて、粗グリッド補正部分空間の構築に適したテストベクトルを効率的に生成する。
• 本手法は、柔軟なクリロフ部分空間ソルバ（例：FGMRES）内でのプリコンディショナとして使用され、粗グリッド系は近似的に解かれてセットアップコストを削減する。
• 多層階層は、粗い系が直接解けるサイズに達するまで再帰的に適用され、完全な多重グリッド再帰が可能になる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 2レベルのDD-α AMG手法を真の多層フレームワークに拡張することで、格子ウィルソンディラック作用素の解法において測定可能な性能向上が得られるか？
• RQ2 適応的集合、SAP平滑化、対称性を保つ粗グリッド移行の組み合わせが、複数のレベルにわたり収束性を安定的に維持できるか？
• RQ3 追加のレベルを含めることで、2レベル版と比較して解法時間とスケーラビリティにどのような影響があるか？
• RQ4 γ₅対称性の維持が、多層手法の有効性と安定性に与える影響は何か？
• RQ5 追加のレベルに伴う計算コストを上回る性能向上を実現するため、多層セットアップを十分に効率化できるか？

主な発見

• 3レベルのDD-α AMG手法は、128プロセス環境下での1回の解法において、標準的なクリロフ部分空間法に対して約700倍の高速化を達成した。
• 多層手法は2レベルのDD-α AMG手法よりも1.7倍の性能向上を示し、追加のレベルが測定可能な利点をもたらすことを実証した。
• 本手法は全レベルでγ₅対称性を維持しており、これは格子QCDシミュレーションにおける物理的一致性にとって不可欠である。
• 3レベル手法のセットアップ時間は2レベルバージョンよりもわずかに長くなるが、解法時間の短縮がそれを大幅に上回り、右辺ベクトルが1つである場合でも効果的である。
• 数値実験では、本手法が格子サイズの増大に伴い良好にスケーリングし、臨界クォーク質量付近でも収束性が向上していることが示された。
• 粗グリッドの複雑さが低減される反面、セットアップが速い不正確なデフレーションと不正確な射影の手法と比較しても、本手法は速度と対称性の維持の両面で優れている。