[論文レビュー] An adaptive minimum spanning tree multi-element method for uncertainty quantification of smooth and discontinuous responses

Yous van Halder, Benjamin Sanderse+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 19, 2018

Probabilistic and Robust Engineering Design参考文献 35被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、事前の応答行動に関する知識が不要な状況下で滑らかでない応答を自動的に処理できる、不確実性評価のための適応的最小全域木マルチエレメント（MST-ME）手法を提案する。最小全域木による適応的サンプリング、不連続性検出のためのサポートベクターマシン、および分解された領域における最小二乗直交補間を組み合わせることで、最小限のサンプル数で高い精度と効率性を達成し、ギブス現象を回避するとともに、複雑な偏微分方程式や工学的問題における頑健なサーモンモデル構築を可能にする。

ABSTRACT

A novel approach for non-intrusive uncertainty propagation is proposed. Our approach overcomes the limitation of many traditional methods, such as generalised polynomial chaos methods, which may lack sufficient accuracy when the quantity of interest depends discontinuously on the input parameters. As a remedy we propose an adaptive sampling algorithm based on minimum spanning trees combined with a domain decomposition method based on support vector machines. The minimum spanning tree determines new sample locations based on both the probability density of the input parameters and the gradient in the quantity of interest. The support vector machine efficiently decomposes the random space in multiple elements, avoiding the appearance of Gibbs phenomena near discontinuities. On each element, local approximations are constructed by means of least orthogonal interpolation, in order to produce stable interpolation on the unstructured sample set. The resulting minimum spanning tree multi-element method does not require initial knowledge of the behaviour of the quantity of interest and automatically detects whether discontinuities are present. We present several numerical examples that demonstrate accuracy, efficiency and generality of the method.

研究の動機と目的

• 滑らかでない応答の両方に対して、応答行動に関する事前の知識を必要とせずに、効果的に機能する非侵襲的不確実性評価手法の開発。
• 一般化された多項式クラウド法や確率的コロケーション法の限界、特に不連続性付近でのギブス現象を克服すること。
• 入力パラメータの確率密度および勾配情報に基づく適応的サンプリングによって、高価なモデル評価回数を削減すること。
• 自動的ドメイン分解と局所補間を通じて、複雑なPDEやブラックボックスモデルに対する頑健なサーモンモデル構築を可能にすること。
• 非構造的で適応的にサンプリングされたデータ点上での補間の安定性と精度を保証すること。

提案手法

• 最小全域木（MST）を用いた適応的サンプリングは、入力パラメータの確率密度と応答の局所的勾配の両方をバランスさせる独自の重み関数を用いる。
• サポートベクターマシン（SVM）を用いてサンプルを分類し、不連続性を検出することで、SVM分類境界に沿ったドメイン分解が可能となり、不連続な挙動を示す領域を分離できる。
• 確率的入力空間が、各局所的応答が安定した補間が可能な非重複な要素に分解される。
• 最小直交補間を各要素内で実行し、散在した非構造的サンプル集合上での正確な局所近似を構築する。
• 反復的にMSTに基づく新しいサンプルを追加することで、高確率領域および高勾配領域の解像度を向上させ、収束に達するまで繰り返す。
• このプロセスは完全に適応的であり、応答の滑らかさや不連続性に関する初期仮定を必要としない。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 最小全域木に基づく適応的サンプリング戦略は、不確実性評価の精度を維持しつつ、モデル評価回数を効果的に削減できるか？
• RQ2 機械学習的手法を用いて、最小限のサンプル数で応答の不連続性を検出し、局所化できるか？
• RQ3 SVMに基づくドメイン分解を用いたマルチエレメントアプローチは、滑らかでない応答の両方においてギブス現象を防ぎつつ、精度を維持できるか？
• RQ4 MSTサンプリング、SVM分類、および最小直交補間の組み合わせは、従来の確率的コロケーション法と比較して、収束性および頑健性の面でどの程度優れているか？
• RQ5 この手法は、応答関数に関する事前の知識がなくとも、滑らかでない挙動を自動的に同定できるか？

主な発見

• MST-ME手法は、1次元浅水流方程式や3次元ダムブレイクシミュレーションのような複雑な問題においても、ギブス現象を引き起こさずに不連続性を的確に捉えている。
• 自由表面流を伴う3次元ダムブレイク問題では、高さ対長さ比に依存する滑らかで非線形な応答が観測されたが、不連続性は確認されなかった—これはガス相のモデル化が行われていないための可能性がある。
• 適応的サンプリングの6反復後、わずか30サンプルで高精度なサーモンモデルが得られ、高速な収束性と効率性を示した。
• MST-ME手法は、応答が滑らかか不連続かを自動的に同定し、応答挙動に関する事前の知識が不要であることを示した。
• 最小直交補間は、非構造的サンプル集合上でも安定した局所近似を提供し、不連続性が存在しても手法の頑健性は保たれた。
• この手法は、PDEのパラメトリック解法に適しており、モンテカルロベースの不確実性評価や逆問題のサーモンとして利用可能である。