[論文レビュー] An adaptive multi-fidelity PC-based ensemble Kalman inversion for inverse problems

Liang Yan, Tao Tang|arXiv (Cornell University)|Sep 21, 2018

Probabilistic and Robust Engineering Design参考文献 23被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、高次元非線形PDEに支配される逆問題を解く際の計算コストを低減するため、適応的マルチフィidelity多項式クラウド（PC）に基づくアンサンブルカルマンインバージョン（EKI）手法を提案する。わずかな高精度モデル評価のみを用いて低次のPC代理モデルを適応的に構築・精緻化することで、低コストな代理モデルの多数の実現を用いて効率的なEKI更新を可能とし、標準的EKIおよびPCベースのEKIと比較して優れた精度と効率性を達成する。

ABSTRACT

The ensemble Kalman inversion (EKI), as a derivative-free methodology, has been widely used in the parameter estimation of inverse problems. Unfortunately, its cost may become moderately large for systems described by high dimensional nonlinear PDEs, as EKI requires a relatively large ensemble size to guarantee its performance. In this paper, we propose an adaptive multi-fidelity polynomial chaos (PC) based EKI technique to address this challenge. Our new strategy combines a large number of low-order PC surrogate model evaluations and a small number of high-fidelity forward model evaluations, yielding a multi-fidelity approach. Especially, we present a new approach that adaptively constructs and refines a multi-fidelity PC surrogate during the EKI simulation. Since the forward model evaluations are only required for updating the low-order multi-fidelity PC model, whose number can be much smaller than the total ensemble size of the classic EKI, the entire computational costs are thus significantly reduced. The new algorithm was tested through the two-dimensional time fractional inverse diffusion problems and demonstrated great effectiveness in comparison with PC based EKI and classic EKI.

研究の動機と目的

• 高次元非線形PDE制約付き逆問題におけるアンサンブルカルマンインバージョン（EKI）の高い計算コストに対処すること。
• 代理モデルの活用により、EKIにおける高価な高精度フォワードモデル評価への依存を低減すること。
• EKI反復の過程で繰り返し精緻化される適応的マルチフィidelity PC代理モデルを構築することにより、高精度評価の最小限の使用で精度を向上させること。
• 信頼性の高い共分散推定を維持しつつ、高価な高精度シミュレーションの回数を著しく削減する大規模なアンサンブルサイズを維持すること。
• 時間分数逆拡散問題に対する本手法の有効性を示すことにより、収束性の向上と誤差の低減を実証すること。

提案手法

• 本手法は、低次の多項式クラウド展開と少量の高精度フォワードモデル評価を組み合わせることでマルチフィidelity PC代理モデルを構築する。
• 各EKI反復において、更新されたパrameter推定値を用いて代理モデルを適応的に精緻化し、精度を向上させる。
• アンサンブル更新は、低コストで精緻化されたマルチフィidelity PC代理モデルからの多数の実現を用いて計算され、繰り返し高精度評価を避ける。
• 高精度モデルは、代理モデルの更新・精緻化にのみ使用され、アンサンブルメンバーごとに評価されるのではなく、総合的な計算コストを顕著に削減する。
• 適応的精緻化と反復的正則化EKIを統合することで、非線形設定でも安定した収束を可能にする。
• 代理モデルの精度を制御し収束を保証するため、信頼領域に類似した許容誤差基準を用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 EKI反復中にマルチフィidelity PC代理モデルを適応的に精緻化することで、高精度モデル評価への依存を低減できるか？
• RQ2 低次のPC代理モデルと最小限の高精度評価を組み合わせることで、高次元逆問題におけるEKIの精度と効率性が向上するか？
• RQ3 適応的マルチフィidelity PCベースのEKIは、標準的EKIおよびPCベースのEKIと比較して、計算コストと再構成誤差の面で優れているか？
• RQ4 少量の高精度評価と大規模なアンサンブルサイズを用いても、本手法は安定した収束と正確なパrameter推定を維持できるか？
• RQ5 代理モデルの次数と精緻化戦略の影響は、最終的な逆問題の精度と計算効率にどのような影響を及えるか？

主な発見

• 適応的マルチフィidelity PC（AMPC）手法は、わずか46回の高精度評価と157回の代理モデル評価で相対誤差0.0889を達成し、N=3のPCベースEKI（相対誤差0.2146）およびN=2のPCベースEKI（相対誤差0.3430）を著しく上回った。
• AMPCの総合計算時間は13.04秒であったのに対し、N=3のPCベースEKIは263.20秒であったため、実行時間の顕著な短縮が確認された。
• AMPCはN=1の低次の代理モデルと、46回の高精度評価（N=3のPCベースEKIの4600回と比較して）を用いて、N=3のPCベースEKIよりも高い精度を達成した。
• 古典的EKIにおける高精度モデル評価回数5700回からAMPCではわずか46回にまで削減され、高価なシミュレーションの99.2％の削減が達成された。
• 適応的精緻化戦略により、最小限の高精度入力で正確な代理モデルを構築でき、低アンサンブルサイズでも信頼性の高いアンサンブル共分散推定を維持した。
• 2次元時間分数逆拡散問題に対する数値結果は、AMPCが古典的EKIおよびPCベースEKIと比較して、はるかに低い計算コストでより正確な再構成を実現できることを確認した。