[論文レビュー] An adaptive multiresolution discontinuous Galerkin method with artificial viscosity for scalar hyperbolic conservation laws in multidimensions

Juntao Huang, Yingda Cheng|arXiv (Cornell University)|Jun 3, 2019

Computational Fluid Dynamics and Aerodynamics参考文献 52被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、多次元におけるスカラー双曲型保存則を解くために、人工粘性を組み込んだ適応的マルチスケール離散ガラーキン（DG）法を提案する。インタポラトリー多スケールウェーブレットを用いて非線形積分を効率的に計算することで、滑らかな解に対してスパースグリッドに類似した計算複雑度を達成する一方で、葉ノード要素に局所的に人工粘性を適用することにより、安定性と精度を維持する。

ABSTRACT

In this paper, we develop an adaptive multiresolution discontinuous Galerkin (DG) scheme for scalar hyperbolic conservation laws in multidimensions. Compared with previous work for linear hyperbolic equations \cite{guo2016transport, guo2017adaptive}, a class of interpolatory multiwavelets are applied to efficiently compute the nonlinear integrals over elements and edges in DG schemes. The resulting algorithm, therefore can achieve similar computational complexity as the sparse grid DG method for smooth solutions. Theoretical and numerical studies are performed taking into consideration of accuracy and stability with regard to the choice of the interpolatory multiwavelets. Artificial viscosity is added to capture the shock and only acts on the leaf elements taking advantages of the multiresolution representation. Adaptivity is realized by auto error thresholding based on hierarchical surplus. Accuracy and robustness are demonstrated by several numerical tests.

研究の動機と目的

• 滑らかでない非線形双曲型保存則に対して、自由度が減少しているにもかかわらず、完全な細かいグリッド演算を必要とする既存の適応的マルチスケールDG法の計算非効率性を解消する。
• 滑らかな解に対して、スパースグリッドDG法と同等の計算複雑度を達成することで、計算を効率化する。自由度を O(h⁻ᵈ) から O(h⁻¹|log₂h|ᵈ⁻¹) に削減する。
• マルチスケール階層の葉ノード要素にのみ人工粘性を局所的に統合することで、ショックを捕捉しつつ滑らかな領域の精度を損なわないようにする。
• 多スケール係数を単一スケール表現に変換するのを避けるフレームワークを構築し、時間発展中にマルチスケール構造を保持する。
• ショックと滑らかな解を含む多次元スカラー保存則の数値実験を通じて、その強固さと精度を実証する。

提案手法

• ネストされた階層的グリッド上にインタポラトリー多スケールウェーブレットを用い、階層的超過に基づく適応的グリッド細分化を可能にするマルチスケールフレームワークで解係数を表現する。
• スパースグリッドコロケーション技術を用いて非線形フラックス積分を効率的に計算し、完全な細かいグリッドの構築を回避することで、滑らかな解に対して O(h⁻¹|log₂h|ᵈ⁻¹) の複雑度を維持する。
• マルチスケールツリーの葉ノード要素にのみ人工粘性を適用し、滑らかな領域に影響を与えることなくショックを解像する。
• 階層的グリッド上での不連続多項式基底関数を用いてDGスキームを構築し、各要素およびエッジで数値積分により数値フラックスを計算する。
• 階層的超過に基づく自動誤差閾値設定を用いて事後的適応性を実現し、外部の誤差指標を必要とせずに、動的かつ自動的にグリッドを細分化または粗化する。
• 特に非線形項およびショック捕捉の観点から、インタポラトリー多スケールウェーブレットの選択に関する理論的分析を通じて、安定性と精度を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 滑らかな解に対して、多次元双曲型保存則の文脈で、適応的マルチスケールDG法がスパースグリッドDG法と同等の計算複雑度を達成できるか？
• RQ2 マルチスケールフレームワーク内で人工粘性をどのように局所化すれば、滑らかな解の精度を損なわずショックを効果的に捉えられるか？
• RQ3 インタポラトリー多スケールウェーブレットの選択性が、DGフレームワーク内での非線形フラックス計算の安定性と精度に与える影響は何か？
• RQ4 非線形項に対して完全な細かいグリッド演算を回避しつつ、非線形双曲型問題においても精度と安定性を維持できるマルチスケールDGスキームを構築できるか？
• RQ5 本手法は、非線形項に対して完全な細かいグリッド演算を必要とする既存の適応的マルチスケールDG法と比較して、計算効率および精度の点で優れているか？

主な発見

• 滑らかな解に対して、本手法は O(h⁻¹|log₂h|ᵈ⁻¹) の計算複雑度を達成し、多次元においてスパースグリッドDG法と同等の効率性を実現する。
• 人工粘性はマルチスケールツリーの葉ノード要素にのみ適用され、効果的にショックを捉える一方で、滑らかな領域の精度を保持する。
• インタポラトリー多スケールウェーブレットの使用により、要素およびエッジ上の非線形積分の計算が効率的に行われ、多スケール係数を単一スケール表現に変換する必要がなくなる。
• 数値実験により、滑らかな解およびショックを含む問題の両方に対して、本手法が強固で高精度であることが示された。これには多次元スカラー保存則が含まれる。
• 理論的分析により、特に非線形フラックス項に関して、インタポラトリー多スケールウェーブレットの選択に起因するスキームの安定性と精度が確認された。
• 適応性は階層的超過に基づく自動閾値設定によって達成され、外部の事後的誤差指標の必要性がなくなる。