[論文レビュー] An adaptive reduced basis collocation method based on PCM ANOVA decomposition for anisotropic stochastic PDEs

Heyrim Cho, Howard C. Elman|arXiv (Cornell University)|Sep 25, 2017

Stochastic processes and financial applications参考文献 34被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、計算コストを低減するためにPCM-ANOVA分解を用いた、異方性確率的PDEsに対する適応的低次元基底配置法を提案する。次元適応型ANOVA分解とパrametric方向における多項式次数の適応を組み合わせることで、効率的な誤差制御と低次元基底のソートが可能となり、境界層を有する対流拡散ベンチマークにおいて、著しく少ない配置点数で高い精度を達成する。

ABSTRACT

The combination of reduced basis and collocation methods enables efficient and accurate evaluation of the solutions to parameterized PDEs. In this paper, we study the stochastic collocation methods that can be combined with reduced basis methods to solve high-dimensional parameterized stochastic PDEs. We also propose an adaptive algorithm using a probabilistic collocation method (PCM) and ANOVA decomposition. This procedure involves two stages. First, the method employs an ANOVA decomposition to identify the effective dimensions, i.e., subspaces of the parameter space in which the contributions to the solution are larger, and sort the reduced basis solution in a descending order of error. Then, the adaptive search refines the parametric space by increasing the order of polynomials until the algorithm is terminated by a saturation constraint. We demonstrate the effectiveness of the proposed algorithm for solving a stationary stochastic convection-diffusion equation, a benchmark problem chosen because solutions contain steep boundary layers and anisotropic features. We show that two stages of adaptivity are critical in a benchmark problem with anisotropic stochasticity.

研究の動機と目的

• 空間解像度と確率的次元の両方による高次元異方性確率的PDEsの解法における高い計算コストに対処すること。
• 確率的空間における適応的サンプリングを組み合わせた効率的な低次元基底法の開発。
• 確率的配置法における固定多項式次数が引き起こす誤差低減の停滞を克服すること。
• ANOVA指標を用いて誤差寄与度の降順に低次元基底解を自動的にソートすること。
• 境界層や不連続性を有する確率的PDEs、特に対流拡散方程式のための高精度なモーメント推定を達成すること。

提案手法

• ANOVA分解を用いて、解の分散に顕著な寄与を示すパラメータ部分空間を同定する。
• ANOVA指標を用いてパラメトリック方向をランク付けし、誤差寄与度の降順に低次元基底解をソートする。
• 二段階の適応的アルゴリズムを実装する：まず効果的な確率的次元を選択し、次にその方向における多項式次数pを増加させる。
• 高次元積分のためのスパースグリッド点を用いた確率的配置法（PCM）を採用し、動的にパラメトリック空間を精錬する。
• さらなる多項式次数の増加が誤差低減にほとんど寄与しない場合に収束を停止させるための飽和制約を適用する。
• 適応的PCMと低次元基底射影を組み合わせることで、オンライン計算コストを最小限に抑えつつ統計的モーメントの精度を維持する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ANOVA分解を用いることで、異方性PDEsにおける有効な確率的次元を特定・優先順位付けできるか？
• RQ2 PCMに基づく低次元基底法における、適応的多項式次数の精錬が誤差収束と計算コストに与える影響は何か？
• RQ3 ANOVAに基づく低次元基底解のソーティングは、グリーディ型手法と比較して計算コストを低減できるか？
• RQ4 二段階の適応戦略（次元および次数の適応）は、境界層や不連続性を有するPDEsにおいて精度と効率をどのように向上させるか？
• RQ5 提案手法は、所定の誤差許容範囲を満たすために必要な配置点数をどの程度削減できるか？

主な発見

• ν = 1/20の場合、10×10の分割において、配置点数を153から35に削減し、εRB = 10−3.5を維持した。
• ν = 1/20でεRB = 10−3.5の条件下、固定p=9と全M=100次元を用いた場合の25,410点に比べ、適応的手法では288の探索点数にまで削減された。
• 適応的アルゴリズムは、境界層や不連続性といった解の不規則性に関連する確率的方向を検出し、優先順位を付けていた。
• ANOVAに基づくソーティングにより、低次元基底スナップショットの必要数が削減され、ν=1/20でεRB=10−3.5の条件下では、固定p=9の191点に対しNr = 16にまで減少した。
• ν=1/20でεRB=10−3.5の条件下、モーメント誤差eµ ≈ 1.0×10−3およびeσ ≈ 2.5×10−2を達成し、高い精度を示した。
• 計算時間は著しく短縮され、ν=1/2の10×10分割において、固定p=9の38,880点に比べ、適応的手法では512の探索点数で十分であった。