[論文レビュー] An Adaptive Sampling Approach for the Reduced Basis Method

Sridhar Chellappa, Lihong Feng+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 1, 2019

Model Reduction and Neural Networks被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、赤外線ベース関数（RBF）に基づく誤差サロゲートを用いて、粗いトレーニングセットを動的に更新することで、オフライン計算コストを最小化しながら保証された精度を達成する、低次元化手法のための適応的サンプリング手法を提案する。繰り返し、細かいグリッドからの高誤差パラメータを追加し、許容誤差を満たすパラメータを削除することで、24回の反復で誤差が$10^{-3}$未満の低次元モデルを達成した。これは固定トレーニングセットに比べて、41.52秒の実行時間（固定法では74.09秒）を達成し、固定法が失敗する中で許容誤差を満たした。

ABSTRACT

The offline time of the reduced basis method can be very long given a large training set of parameter samples. This usually happens when the system has more than two independent parameters. On the other hand, if the training set includes fewer parameter samples, the greedy algorithm might produce a reduced-order model with large errors at the samples outside of the training set. We introduce a method based on a surrogate error model to efficiently sample the parameter domain such that the training set is adaptively updated starting from a coarse set with a small number of parameter samples. A sharp a posteriori error estimator is evaluated on a coarse training set. Radial Basis Functions are used to interpolate the error estimator over a separate fine training set. Points from the fine training set are added into the coarse training set at every iteration based on a user defined criterion. In parallel, parameter samples satisfying a defined tolerance are adaptively removed from the coarse training set. The approach is shown to avoid high computational costs by using a small training set and to provide a reduced-order model with guaranteed accuracy over a fine training set. Further, we show numerical evidence that the reduced-order model meets the defined tolerance over an independently sampled test set from the parameter domain.

研究の動機と目的

• 大規模または高次元のパラメータ領域を扱う際の低次元化手法における高いオフライン計算コストに対処すること。
• グリーディな低次元化近似におけるトレーニングセットサイズと精度のトレードオフを克服すること。
• 精度を維持しながら、フルオーダーモデルの解法回数を最小限に抑える適応的サンプリング戦略を開発すること。
• フルオーダーモデルをすべての点で評価せずに、パラメータ空間を効率的に探索できるように、サロゲート誤差モデルを統合すること。
• 最終的な低次元モデルが、独立してサンプリングされたテストセットを含む、パラメータ領域全体でユーザーが定義した許容誤差を満たすことを保証すること。

提案手法

• ランダムに選択されたパラメータサンプルの小さな粗いトレーニングセットで低次元化手法を初期化する。
• 各パラメータにおける低次元モデル誤差を、鋭い事後誤差推定器を用いて評価する。
• 細かいトレーニングセット上で誤差推定器の誤差を補間するため、径数基底関数（RBF）サロゲートモデルを構築し、フルオーダーモデルを解かずに高速な誤差推定を可能にする。
• 各グリーディ反復において、細かいグリッド上の高サロゲート誤差を持つパラメータを特定し、それらを粗いトレーニングセットに追加して基底を強化する。
• ユーザーが定義した許容誤差を満たすパラメータを粗いトレーニングセットから削除し、最小限かつ代表的なトレーニングセットを維持する。
• RBFカーネルの最適な形状パラメータを選択するために交差検証を適用し、サロゲートの精度と安定性を向上させる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 適応的サンプリング戦略は、精度を損なわせることなく、低次元化手法のオフライン計算コストを削減できるか？
• RQ2 RBF補間に基づくサロゲート誤差モデルは、高次元問題におけるパラメータ領域探索の効率をどのように向上させることができるか？
• RQ3 収束したパラメータの適応的削除によって、精度を保持したままトレーニングセットのサイズをどの程度削減できるか？
• RQ4 小さなかつ適応的なトレーニングセットであっても、本手法は独立してサンプリングされたテストセット全体で所望の許容誤差を達成できるか？
• RQ5 実行時間と誤差制御の観点から、本手法は固定トレーニングセットアプローチと比べてどの程度優れているか？

主な発見

• 適応的手法はテストセット全体で最大誤差$ \num{1e-3} $を達成し、ユーザーが定義した許容誤差を満たしたが、固定トレーニングセット手法ではその達成に失敗した。
• 適応的アルゴリズムは24回の反復で収束し、低次元モデルの次数は74であった。一方、固定法では44の次数に達したが、依然として許容誤差を満たさなかった。
• 熱的モデルの例では、実行時間が固定法の74.09秒から適応的法の41.52秒にまで短縮され、顕著な計算コストの削減が示された。
• 誤差の減少と最終誤差分布のプロットから、適応的手法は収束の挙動および最終誤差の両面で固定法を上回った。
• RBFに基づく誤差サロゲートは、グリーディ反復中にフルオーダーモデルの解法回数を削減する効果的に、パラメータ空間の探索を効率的に行った。
• 本手法は、適応的POD-Greedy-(D)EIMアルゴリズムと効果的に統合され、パラメトリックPDEの完全な適応的低次元化フレームワークを実現した。