[論文レビュー] An Adaptive-to-Model Test for Parametric Single-Index Errors-in-Variables Models

Hira L. Koul, Chuanlong Xie+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 28, 2016

Statistical Methods and Inference参考文献 27被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、検証データを用いた誤差付き単一インデックスモデルに対する、モデルに適応する二つの適合度検定を提案する。この手法は次元の呪いを克服するための適応戦略を用いる。これらの検定は一般の代替仮説に対し全般的な一貫性を示し、1つの共変量を持つ局所スムージング検定と同様に動作し、誤差分布や共変量分布の知識を必要としないまま、より高い効率性とロバスト性を実現する。

ABSTRACT

This paper provides some useful tests for fitting a parametric single-index regression model when covariates are measured with error and validation data is available. We propose two tests whose consistency rates do not depend on the dimension of the covariate vector when an adaptive-to-model strategy is applied. One of these tests has a bias term that becomes arbitrarily large with increasing sample size but its asymptotic variance is smaller, and the other is asymptotically unbiased with larger asymptotic variance. Compared with the existing local smoothing tests, the new tests behave like a classical local smoothing test with only one covariate, and still are omnibus against general alternatives. This avoids the difficulty associated with the curse of dimensionality. Further, a systematic study is conducted to give an insight on the effect of the values of the ratio between the sample size and the size of validation data on the asymptotic behavior of these tests. Simulations are conducted to examine the performance in several finite sample scenarios.

研究の動機と目的

• 共変量が誤差を伴って測定される状況下で、パラメトリック単一インデックスモデルに対する妥当で、全般的な適合度検定を開発すること。
• 既存の局所スムージング検定における次元の呪いを、モデルに適応する戦略を適用することで解決すること。
• 真の回帰関数がパラメトリック形式から逸脱しても、一貫性と効率性を保つ検定を構築すること。
• 共変量と測定誤差の両方の分布が未知である一般の条件下で動作すること。
• 標本サイズと検証データサイズの比が、検定の漸近的挙動に与える影響を調査すること。

提案手法

• 検証データを用いて回帰関数を補正する、モデルに適応する推定に基づく二つの検定統計量を提案する。
• バイアスと分散のトレードオフを軽減するために、適応的に選ばれたバンド幅を用いたカーネルスムージングを採用する。
• 条件付き期待値と弱収束の議論を用いて、帰無仮説および対立仮説の下での検定統計量の漸近的分布を導出する。
• デコンボリューション技術と経験尤度を用いて、検証データからインデックススコアの密度を推定する。
• 二重カーネルスムージングアプローチを用いて、補正済み回帰関数およびその分散成分を推定する。
• 帰無仮説の下で検定統計量の漸近的正規性を確立し、カーネル積分近似を用いて分散成分を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 モデルに適応する検定は、誤差付きモデルの非パラメトリック検定において、次元の呪いを克服できるか？
• RQ2 提案された検定の漸近的性質は、古典的な局所スムージング検定と比較して、バイアスと分散の点でどのように異なるか？
• RQ3 標本サイズと検証データサイズの比が、検定統計量の漸近的挙動に与える影響は何か？
• RQ4 誤差分布や共変量分布の知識がなくても、一般の代替仮説に対する全般的な検出力（パワー）を維持できるか？
• RQ5 適応戦略は、検定統計量におけるバイアスと分散のトレードオフにどのように影響を与えるか？

主な発見

• 提案された検定は、共変量の次元に依存しない一貫性率を達成し、次元の呪いを克服する。
• 一方の検定は標本サイズの増加に伴いバイアス項が増大するが、漸近的分散は小さい。もう一方の検定は漸近的に不偏であり、分散は大きい。
• 検定は漸近的に、1つの共変量を持つ古典的な局所スムージング検定と同様に動作し、全般的なパワーを維持する。
• 検定統計量の漸近的分布は正規分布であり、分散はカーネル積分近似から導出される。
• 標本サイズと検証データサイズの比は、特に分散成分に顕著な影響を与え、漸近的挙動に大きな影響を及ぼす。
• シミュレーションスタディにより、さまざまな状況下で良好な有限標本性能が確認され、理論的結果の妥当性が裏付けられる。