[論文レビュー] An Adaptive Version of Brandes' Algorithm for Betweenness Centrality

Matthias Bentert, Alexander J. Dittmann+3 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2018

Complex Network Analysis Techniques被引用数 2

ひとこと要約

本稿では、入力グラフのフィードバックエッジ数kを用いてO(kn)時間で実行される、次数中心性のための適応的アルゴリズムを提示する。先行研究における次数1の頂点の前処理を、最大誘導パスにおける動的計画法を用いて次数2の頂点に拡張することで、スパarsな木に類似したグラフにおいて、BrandesのO(nm)アルゴリズムよりも厳密にタイトな最悪計算量の上限を達成する。

ABSTRACT

Betweenness centrality - measuring how many shortest paths pass through a vertex - is one of the most important network analysis concepts for assessing the relative importance of a vertex. The well-known algorithm of Brandes [2001] computes, on an n-vertex and m-edge graph, the betweenness centrality of all vertices in O(nm) worst-case time. In follow-up work, significant empirical speedups were achieved by preprocessing degree-one vertices and by graph partitioning based on cut vertices. We further contribute an algorithmic treatment of degree-two vertices, which turns out to be much richer in mathematical structure than the case of degree-one vertices. Based on these three algorithmic ingredients, we provide a strengthened worst-case running time analysis for betweenness centrality algorithms. More specifically, we prove an adaptive running time bound O(kn), where k < m is the size of a minimum feedback edge set of the input graph.

研究の動機と目的

• スパarsな現実世界のネットワークにおける次数中心性を計算する理論的に改善されたアルゴリズムの開発。
• 短経路計算において次数1の頂点よりも複雑な次数2の頂点の計算的課題の解決。
• 入力グラフの構造的スパarsさに適応する、きめ細やかな最悪計算量の解析の提供。
• 次数1の頂点の前処理およびカット頂点の利用に関する先行研究を拡張し、次数2の頂点のアルゴリズム最適化に含める。
• フィードバックエッジ数kに基づく新たなパラメータ化された上界の確立。これは線形時間とBrandesの元来の上限の間を滑らかに補間する。

提案手法

• 次数1の頂点を収縮することでグラフを前処理し、次数中心性の値に影響を与えることなくグラフサイズを削減する。
• 動的計画法を用いて次数2の頂点からなる最大誘導パスを特定・処理し、次数中心性への寄与を効率的に計算する。
• 連続する頂点間のパス寄与の差分を定数時間で計算するための動的計画法テーブルを活用する。
• 事前に計算されたテーブル（W_left, W_right）を用いて、最大パス外の頂点の次数中心性寄与をO(|V(P_max)|)時間で計算可能にする。
• 次数2以上の頂点からの寄与を蓄積するInc[s,t]値を維持することで、V≥3(G)に属する頂点のペアに対する後処理ステップを統合する。
• 次数1の収縮、カット頂点の分割、次数2のパス処理の結果を統合し、O(kn)時間および空間計算量を持つ統一されたアルゴリズムを構築する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 次数2の頂点を、次数中心性の最悪計算量の上限が厳密に改善される方法で処理できるか？
• RQ2 次数2の頂点処理を適応的アルゴリズムに組み込むことで、スパarsなグラフにおいてBrandesのO(nm)の上限よりもタイトな実行時間上限が得られるか？
• RQ3 フィードバックエッジ数kは、次数中心性の適応的計算量上限を可能にする適切な構造的パラメータか？
• RQ4 次数2の頂点からなる最大誘導パスにおける動的計画法を用いることで、各パスに対して線形時間で次数中心性寄与を計算できるか？
• RQ5 次数1の頂点の前処理、カット頂点、次数2の頂点の処理を統合することで、全体の漸近的性能にどのような影響を与えるか？

主な発見

• 提案されたアルゴリズムは、kがフィードバックエッジ数であるO(kn)時間で実行され、BrandesのO(nm)アルゴリズムよりも厳密にタイトな最悪計算量の上限を達成する。
• kが定数のグラフ（例：木、k = 0）では線形時間で実行され、密度の高いグラフ（k ≈ m）ではO(nm)に近づく。
• 次数2の頂点からなる最大誘導パスにおける動的計画法により、その次数中心性寄与をO(|V(P_max)|)時間で計算可能である。
• 事前に計算されたW_leftおよびW_rightテーブルの使用により、パス寄与の差分の更新が定数時間で可能となり、各パスごとの線形時間処理にとって不可欠である。
• 次数1の頂点の前処理、カット頂点、次数2の頂点の処理を統合した統一フレームワークにより、O(kn)時間および空間計算量を達成する。
• 理論的改善は、k = m − n + 1が小さい木に類似したグラフ（例：学術指導者ネットワーク、企業所有グラフ）において特に顕著である。