[論文レビュー] An additive combinatorics approach to the log-rank conjecture in communication complexity

Eli Ben‐Sasson, Shachar Lovett+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 25, 2011

Limits and Structures in Graph Theory参考文献 7被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、加法的組合せ論における多項式フレイマン＝ルツァ（PFR）予想を仮定することで、任意の{0,1}-行列 M の決定的通信複雑度が O(rank(M)/log rank(M)) で抑えられることを確立している。証明は、PFRのもとでの近似双対性に関する改善された境界を活用し、ニサン＝ウィグダーソンのプロトコルフレームワークを再帰的に低不均衡サブ行列を用いて行列を分解するように適応することで、従来の rank(M) に比例する上界 O(rank(M)) よりもほぼ線形に改善された結果を得ている。

ABSTRACT

For a $\{0,1\}$-valued matrix $M$ let $ m{CC}(M)$ denote the deterministic communication complexity of the boolean function associated with $M$. The log-rank conjecture of Lovász and Saks [FOCS 1988] states that $ m{CC}(M) \leq \log^c( m{rank}(M))$ for some absolute constant $c$ where $ m{rank}(M)$ denotes the rank of $M$ over the field of real numbers. We show that $ m{CC}(M)\leq c \cdot m{rank}(M)/\log m{rank}(M)$ for some absolute constant $c$, assuming a well-known conjecture from additive combinatorics known as the Polynomial Freiman-Ruzsa (PFR) conjecture. Our proof is based on the study of the "approximate duality conjecture" which was recently suggested by Ben-Sasson and Zewi [STOC 2011] and studied there in connection to the PFR conjecture. First we improve the bounds on approximate duality assuming the PFR conjecture. Then we use the approximate duality conjecture (with improved bounds) to get the aforementioned upper bound on the communication complexity of low-rank martices, where this part uses the methodology suggested by Nisan and Wigderson [Combinatorica 1995].

研究の動機と目的

• 行列ランクに関する既知の対数的下界と多項式的上界の間のギャップを埋めること。
• 加法的組合せ論における多項式フレイマン＝ルツァ（PFR）予想が、より強い通信複雑度の上界を示すかどうかを調査すること。
• PFR予想と密接に関係する近似双対性の概念に関する境界を改善すること。
• これらの改善された境界を応用して、低ランクの{0,1}-行列に対する決定的通信複雑度の新たな、よりきつい上界を導出すること。
• 加法的組合せ論の構造的結果が通信プロトコルにおけるアルゴリズム的改善をもたらすことを示すことで、加法的組合せ論と通信複雑度を結びつけること。

提案手法

• 多項式フレイマン＝ルツァ（PFR）予想を仮定し、F_2^n 内の集合の近似双対性に関する改善された境界を導出する。
• 改善された近似双対性の境界を用いて、低ランクの{0,1}-行列の構造を分析し、高い不均衡を持つサブ行列を同定する。
• ニサンとウィグダーソンの知られた結果により保証されるように、不均衡が r^(-3/2) 以上で、サイズが r^(-3/2) * |M| 以上のサブ行列 M' が存在することを活用する。
• PFR仮定のもとで、Lemma 3.2 を適用して、サイズが 2^(-O(r/log r)) * |M| 以上である単色サブ行列 M'' を抽出する。ここで r = rank(M) である。
• 単色サブ行列に基づいて再帰的に分割を行うプロトコルを設計し、通信量を最小化するために、ランクが低いサブ行列を持つプレイヤー（行または列）を選択する。
• プロトコルのリーフ数に関する再帰的関係式を確立する：L(m,r) ≤ L(m,r/2) + L(m(1−δ),r)（δ ≥ 2^(-cr/log r)）とし、これを解いて L(m,r) = 2^O(r/log r) を得る。これにより通信複雑度が O(r/log r) であることが示される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 多項式フレイマン＝ルツァ（PFR）予想が、現在知られている O(rank(M)) よりも良い通信複雑度の上界を示すか？
• RQ2 PFR における近似双対性の改善された境界を用いて、低ランク行列のためのより効率的な通信プロトコルを構築できるか？
• RQ3 行列の不均衡に基づく分解をどの程度活用して、決定的モデルにおける通信複雑度を低減できるか？
• RQ4 PFR予想のもとで、{0,1}-行列 M の通信複雑度は O(rank(M)/log rank(M)) で抑えられるか？
• RQ5 単色サブ行列とランク低減に基づく再帰的プロトコル構造は、通信複雑度の先行手法と比較してどのように異なるか？

主な発見

• PFR予想を仮定すると、任意の{0,1}-行列 M の通信複雑度は O(rank(M)/log rank(M)) で抑えられる。
• 証明は、PFR予想のもとで近似双対性に関する改善された境界を確立しており、これは大きな単色サブ行列を同定するために不可欠である。
• 任意のランク r の行列 M に対して、不均衡が r^(-3/2) 以上で、サイズが r^(-3/2) * |M| 以上のサブ行列 M' が存在することが、知られた結果により保証されている。
• PFR予想のもとで、サイズが 2^(-O(r/log r)) * |M| 以上の単色サブ行列 M'' が保証され、再帰的プロトコル設計が可能になる。
• 再帰的プロトコル構造により、δ ≥ 2^(-cr/log r) を満たす L(m,r) ≤ L(m,r/2) + L(m(1−δ),r) という再帰的関係式が得られ、これにより L(m,r) = 2^O(r/log r) のリーフ数が得られる。
• これにより、M の決定的通信複雑度が O(rank(M)/log rank(M)) であることが示され、以前の最良の上界 O(rank(M)) よりも改善されている。