[論文レビュー] An additive variant of Tsallis generalized entropy

M. P. Almeida|arXiv (Cornell University)|Aug 3, 2002

Statistical Mechanics and Entropy被引用数 14

ひとこと要約

本稿は、有限の熱浴を持つ弱く相互作用する系に対して、第一原理からエルゴディック統計力学を用いて導かれた、物理的に動機づけられた加法的変種のツァリス一般化エントロピーを提案する。ギブズのギブズパラドックスの解決に類似した加法的定数を導入することにより、エントロピーは部分系間で厳密に加法的になるが、適切な極限においてボルツマン＝ギブズおよびマイクロカノニカルエントロピーに還元される。

ABSTRACT

This is an analysis of the additivity of the entropy of thermodynamical systems with finite heat baths. It is presented an expression for the physical entropy of weakly interacting ergodic systems, and it is shown that it is valid for both the microcanonical (constant energy), the Boltzmann-Gibbs canonical (infinite heat bath) and the Tsallis (finite heat bath) ensembles. This physical entropy may be written as a variant of Tsallis entropy. It becomes an additive function after a suitable choice of additive constants, in a procedure reminiscent to the solution presented by Gibbs to the paradox bearing his name.

研究の動機と目的

• 有限の熱浴を持つ有限熱力学系におけるツァリスエントロピーの非加法性を解消すること。
• 弱く相互作用する系ですら、熱浴が有限であっても加法的となる物理的に整合性のあるエントロピー関数を導出すること。
• 一般化された統計力学を用いて、マイクロカノニカルとボルツマン＝ギブズカノニカルアンサンブルの間の溝を埋めること。
• 提案されたエントロピー形式が、適切な極限において既知のエントロピー表現（ボルツマン＝ギブズおよびマイクロカノニカル）に還元されることを示すこと。
• 弱く相互作用する系におけるツァリスパラメータ q と位相空間次元性の間の関係を確立すること。

提案手法

• キンチンのエルゴディック理論フレームワークを用いて、マイクロカノニカルおよびカノニカルアンサンブル形式から物理的エントロピーを導出する。
• 系のエネルギー準位を特徴付けるために、構造関数 Ω(E) と逆温度 β(E) = d/dE lnΩ(E) を用いる。
• 有限熱浴のカノニカル分布をツァリス形式を用いて構築する：ρ ∝ [1 - (q_B - 1)βH_O]^{1/(q_B - 1)}
• 修正されたエントロピー表現を導入する：S = k(q_O/(q_O - 1)) - k ln ρ₀、ここで ρ₀ はマイクロカノニカル密度である。
• 非加法的項を排除するためにエントロピー式における加法的定数を調整し、ギブズのギブズパラドックスの解決に類似した手続きをとる。
• 定数調整の後、エントロピーが S = (U/T)(1 + ln T) に単一化され、これは厳密に加法的であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 物理的に整合性のある修正を施すことにより、有限の熱浴を持つ有限系におけるツァリスエントロピーを加法的にできるか？
• RQ2 熱浴が有限であるとき、弱く相互作用する系のエントロピーはどのように振る舞い、加法性を保つのか？
• RQ3 弱く相互作用する系において、ツァリスパラメータ q と位相空間次元性の間の関係は何か？
• RQ4 提案されたエントロピー関数は、適切な極限においてマイクロカノニカルおよびボルツマン＝ギブズエントロピーに還元できるか？
• RQ5 物理的基盤を変更せずに、ツァリスエントロピーの非加法性を解消する方法はあるか？

主な発見

• 適切な定数の追加により、提案されたエントロピー関数は有限系において厳密に加法的となり、非加法性の問題が解決される。
• 最終的なエントロピー形式は S = (U/T)(1 + ln T) であり、U が加法的で T が強度量であるため、加法的である。
• エネルギーが固定で q_O ≠ 1 のとき、エントロピーはマイクロカノニカルのボルツマンエントロピー S = k(q_O/(q_O - 1)) に還元される。
• 熱力学的極限（q_B → 1）において、エントロピーはボルツマン＝ギブズ＝シャノンエントロピー S = k ln Z に収束する。
• ツァリスパラメータ q は系のサイズおよび位相空間次元性に依存し、弱い相互作用では加法的法則に従う。
• 定数調整手順はギブズのギブズパラドックスの解決に類似しており、加法的形の物理的妥当性を裏付ける。