[論文レビュー] An Additivity Theorem for the Interchange of E_n Structures

Zbigniew Fiedorowicz, R. M. Vogt|arXiv (Cornell University)|Feb 7, 2011

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 16被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、位相的オペラッドのテンソル積における非自明な語問題を解き、E_n構造の入れ替えに関する加法性定理を確立する。cofibrant な E_k-オペラッドと cofibrant な E_l-オペラッドのテンソル積が E_{k+l}-オペラッドであることを証明し、反復ループ空間論における長年の予想を解決し、高次代数および n-圏論の基礎的結果を提供する。

ABSTRACT

The notion of interchange of two multiplicative structures on a topological space is encoded by the tensor product of the two operads parametrizing these structures. Intuitively one might thus expect that the tensor product of an E_m and an E_n operad (which encode the muliplicative structures of m-fold, respectively n-fold loop spaces) ought to be an E_{m+n} operad. However there are easy counterexamples to this naive conjecture. In this paper we show that the tensor product of a cofibrant E_m operad and a cofibrant E_n operad is an E_{m+n} operad. It follows that if A_i are E_{m_i} operads for i=1,2,...,k, then there is an E_{m_1+m_2+...+m_k} operad which maps into their tensor product.

研究の動機と目的

• cofibrant な E_k-オペラッドと cofibrant な E_l-オペラッドのテンソル積が E_{k+l}-オペラッドであるという長年の予想を解消すること。
• 特に定数項、一項および二項演算に関して、位相的オペラッドのテンソル積における非自明な語問題を解くこと。
• cofibrant な E_k-オペラッドと cofibrant な E_l-オペラッドのテンソル積が E_{k+l}-オペラッドを生成することを確立し、反復ループ空間論における重要な構成を正当化すること。
• 高次圏論および A_∞-圏における代数的構造の入れ替えにためのホモトピー的基盤を提供すること。
• オペラッドのテンソル積とデループ・マシンの関係を明確にすること、特に先行研究におけるギャップを踏まえて。

提案手法

• 単体的集合と順序集合を用いてオペラッドをモデル化するための神経関手 N とコエンド計算の使用。
• 順序集合構造と細胞分解を用いて、テンソル積オペラッド W|NM_k| ⊗ W|NM_l| の合同な被覆を構成すること。
• ホモトピー的整合性を保証するため、コエンド関手 W を用いてオペラッドの cofibrant な置換を生成すること。
• E_k および E_l 構造の両方の合成の整合的分解を符号化する順序集合オペラッド I(k,l) の定義。
• Cat-オペラッドの写像 L: I(k,l) → Mk+l を確立し、テンソル積が普遍的な E_{k+l}-オペラッドとホモトピー同値であることを示すこと。
• 重心分割と面順序集合構造を用いて、被覆の神経と E_{k+l}-オペラッドの分類空間との関係を関係づけること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 cofibrant な E_k-オペラッドと cofibrant な E_l-オペラッドのテンソル積は、E_{k+l}-オペラッドに quasi-isomorphic か？
• RQ2 E_n 構造の入れ替えを記述する2つの位相的オペラッドのテンソル積の構造は何か？
• RQ3 E_k および E_l オペラッドのテンソル積における語問題は、定数項、一項および二項演算について解けるか？
• RQ4 E_k および E_l オペラッドのテンソル積は、厳密でない場合でも、E_{k+l} 構造をホモトピー的に保存するか？
• RQ5 オペラッドのテンソル積と反復ループ空間のデループとの正確な関係は何か？

主な発見

• cofibrant な E_k-オペラッドと cofibrant な E_l-オペラッドのテンソル積は E_{k+l}-オペラッドである。加法性定理が確認された。
• 定数項、一項および二項演算における位相的オペラッドのテンソル積の語問題は、順序集合オペラッド I(k,l) における細胞分解によって解決された。
• Cat-オペラッドの写像 L: I(k,l) → Mk+l は弱同値である。これにより、W|NM_k| ⊗ W|NM_l| が Mk+l とホモトピー同値であることが示された。
• テンソル積におけるオペラッド構造は対称群作用とオペラッド合成と整合的であり、整合性が保証された。
• この結果から、任意の E_{k_i}-オペラッド A_i に対して、n 重のテンソル積 A_1 ⊗ ⋯ ⊗ A_n は少なくとも E_{k_1+⋯+k_n}-オペラッドであることが導かれる。
• この証明は、異なるモデル構造においても頑健である。ストロムおよびクイレンの両モデル構造において、結果は成り立つ。