[論文レビュー] An ADMM Algorithm for Solving l_1 Regularized MPC

Mariette Annergren, Anders Hansson+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 19, 2012

Sparse and Compressive Sensing Techniques参考文献 22被引用数 24

ひとこと要約

本稿では、予測ホライズンに線形な複雑度と高速収束を実現するため、計算コストが最も高いステップである反復点の実行可能集合への射影を効率的に行うためにリカッチ再帰を活用したℓ1正則化モデル予測制御（MPC）問題を解くためのADMMアルゴリズムを提案する。この手法により、反復的収束が速く、中程度の精度に到達するため、スパースな制御入力を有するリアルタイムMPCアプリケーションに適している。

ABSTRACT

We present an Alternating Direction Method of Multipliers (ADMM) algorithm for solving optimization problems with an l_1 regularized least-squares cost function subject to recursive equality constraints. The considered optimization problem has applications in control, for example in l_1 regularized MPC. The ADMM algorithm is easy to implement, converges fast to a solution of moderate accuracy, and enables separation of the optimization problem into sub-problems that may be solved in parallel. We show that the most costly step of the proposed ADMM algorithm is equivalent to solving an LQ regulator problem with an extra linear term in the cost function, a problem that can be solved efficiently using a Riccati recursion. We apply the ADMM algorithm to an example of l_1 regularized MPC. The numerical examples confirm fast convergence to moderate accuracy and a linear complexity in the MPC prediction horizon.

研究の動機と目的

• 再帰的等式制約を有するℓ1正則化MPCのための効率的最適化アルゴリズムの開発を目的とする。
• ADMMにおける計算ボトル neck を解消するため、射影ステップが追加の線形項を有するLQレギュレータ問題に帰着されることを示す。
• 予測ホライズンに線形な複雑度と高速収束を確保することで、リアルタイムMPCを可能にする。
• 中程度の精度で得られるADMMの解が、高精度解と同等の制御性能を示すことを実証する。
• スパースな入力信号を有するℓ1正則化最適制御問題へのADMMの適用範囲を拡張する。

提案手法

• 再帰的状態および入力ダイナミクス制約を有するℓ1正則化最小二乗最適化にADMMアルゴリズムを適用する。
• ADMMの核となるステップである実行可能集合への射影を、追加の線形コスト項を有する線形二次レギュレータ問題に再定式化する。
• 射影部分問題を効率的に解くためにリカッチ再帰を用い、予測ホライズンに沿った後退スイープと前進スイープを実行する。
• リカッチ再帰はADMMの各反復で一度計算され、すべての反復点で再利用されるため、IP法やアクティブセット法と異なり再計算を回避できる。
• 不安定な系に対しては、リカッチ再帰の数値的安定性を確保するため、状態フィードバックによる事前安定化を適用する。
• 予測ホライズンを変化させたMPC例を用いて、収束性と計算コストを評価する目的でアルゴリズムを実装・テストする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 再帰的ダイナミクス制約を有するℓ1正則化MPCにADMMを効率的に適用可能か？
• RQ2 ADMMにおける最も計算コストの高いステップが、追加の線形項を有するLQレギュレータ問題に等価であるか？
• RQ3 提案手法が予測ホライズンHに対して線形複雑度を達成するか？
• RQ4 ADMMアルゴリズムは、リアルタイムMPCに適した中程度の精度の解にどの程度速く収束するか？
• RQ5 ADMM反復を10回だけ実行した解が、1000回の反復で得られる解と同等の制御性能を示すか？

主な発見

• ADMMアルゴリズムは急速に収束し、プライマルおよびデュアルの残差が最初の20反復以内で著しく低下する。
• 数値実験により、ADMM反復ごとの計算コストが予測ホライズンHに線形に比例することが確認された（H = 5から100の範囲で）。
• わずか10回のADMM反復で得られる解は、1000回の反復で得られる解とほぼ同一の制御性能を示し、100 Hzのサンプリングレートを達成可能である。
• ADMMにおける最もコストの高いステップは、追加の線形項を有するLQレギュレータ問題に等価であり、リカッチ再帰を用いて効率的に解ける。
• リカッチ再帰は、IP法やアクティブセット法とは異なり、ADMMのすべての反復点で再利用可能である。
• 不安定な系に対しては、状態フィードバックによる事前安定化によりリカッチ再帰の数値的安定性が確保され、元の問題構造は変更されない。