[論文レビュー] An affine open covering of $\mathcal{M}_g$ for $g \le 5$

Claudio Fontanari, Stefano Pascolutti|arXiv (Cornell University)|Mar 14, 2011

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 10被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、$2 \leq g \leq 5$ におけるすべての $g$ に対して、滑らかな genus $g$ 曲線のモジュライ空間 $\sigma\mathcal{M}_g$ が $g-1$ 個のアフィン開部分集合の和集合であることを証明し、Looijengaの予想を確認する。証明はモジュラー形式とシータ特性を用い、$\mathcal{A}_g$ のSatakeコンパクト化におけるシータ定数およびレベル2構造に関連するモジュラー形式の零点集合を通じて、明示的なアフィン開被覆を構成する。主な結果は、$g=4$ および $g=5$ におけるこのような被覆の構成であり、$g=2,3$ における既知の結果を拡張する。この手法の根幹は、特定の除集合の補集合がアフィンであることを保証するため、それらの閉包が低genusの曲線の周期の積を含むことを示すことにある。

ABSTRACT

We prove that the moduli space $\mathcal{M}_g$ of smooth curves of genus $g$ is the union of $g-1$ affine open subsets for every $g$ with $2 \le g \le 5$, as predicted by an intriguing conjecture of Eduard Looijenga.

研究の動機と目的

• Looijengaの予想、すなわち $2 \leq g \leq 5$ に対して $\mathcal{M}_g$ が $g-1$ 個のアフィン開部分集合の和集合であることを証明すること。
• $g=2,3$ における既知の結果を、モジュラー形式とシータ特性を用いて $g=4,5$ に拡張すること。
• Satakeコンパクト化 $\mathcal{A}_g^*$ 上でのモジュラー形式の零点集合を通じて、$\mathcal{M}_g$ の明示的なアフィン開被覆を構成すること。
• 特定の除集合の補集合がアフィンであることを、その閉包が低genusの曲線の周期の積を含むことにより確認すること。
• 主要な除集合の交わりが空であることを確立し、開被覆の条件を満たすようにすること。

提案手法

• 主に極大極性付きアーベル多様体のモジュライ空間のSatakeコンパクト化 $\mathcal{A}_g^* = \operatorname{Proj}(A(\Gamma))$ を用いる。
• $\mathcal{M}_4$ における3つの主要な除集合 $\Theta_{\text{null}}$、$D_1$、$D_H$ を定義し、それらの補集合がアフィン開集合の候補である。
• $g=5$ の場合、開被覆を形成するために追加の除集合 $D_T$ を導入し、$D_H$ および $D_T$ はそれぞれモジュラー形式 $F_H$ および $F_T$ の零点として定義される。
• 補題1を適用して、各除集合の補集合がアフィンであることを確認する。そのために、$\mathcal{A}_g^*$ におけるその閉包が滑らかで、ノードを持つ曲線の周期の積を含むことを示す。
• ブロック対角周期行列におけるシータ定数の分裂性質を用いて、このような積上でのゼロとなるシータ定数の数を計算する。
• 補題3を活用し、積周期上での偶数シータ定数が $v(g)$ を超えて消失するならば、モジュラー形式 $F_H$ または $F_T$ が消失することを示し、それにより周期が除集合の閉包上にあることを結論づける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Looijengaの予想が示唆するように、$g=4$ および $g=5$ に対して、モジュライ空間 $\mathcal{M}_g$ は $g-1$ 個のアフィン開部分集合の和集合として被覆可能か？
• RQ2 特定のモジュラー形式 $F_H$ および $F_T$ の零点集合が、$\mathcal{A}_g[2]$ 上で定義される除集合が、$\mathcal{M}_g$ における補集合がアフィンであるか？
• RQ3 $\Theta_{\text{null}}$、$D_1$、および $D_H$（または $D_T$）の交わりが $\mathcal{M}_g$ 内で空であるか？ これにより開被覆の条件が満たされるか？
• RQ4 $\mathcal{A}_g^*$ における除集合 $D_H$ の閉包が、すべての滑らかで、ノードを持つ曲線の周期の積を含むか？
• RQ5 周期行列の積上での偶数シータ定数の消失数を用いることで、モジュラー形式がそのような点上で消失することを検証できるか？

主な発見

• $g=4$ に対して、$\mathcal{M}_4$ は3つのアフィン開部分集合の和集合である：$\mathcal{M}_4 \setminus \Theta_{\text{null}}$、$\mathcal{M}_4 \setminus D_1$、および $\mathcal{M}_4 \setminus D_H$。ここで $D_H$ はモジュラー形式 $F_H$ の零点によって定義される。
• $g=5$ に対して、$\mathcal{M}_5$ は4つのアフィン開部分集合の和集合である：$\mathcal{M}_5 \setminus \Theta_{\text{null}}$、$\mathcal{M}_5 \setminus D_1$、$\mathcal{M}_5 \setminus D_H$、および $\mathcal{M}_5 \setminus D_T$。ここで $D_T$ はモジュラー形式 $F_T$ の零点によって定義される。
• $\mathcal{A}_4^*$ における $D_H$ の閉包は、genus 2 と 2、または genus 1 と 3 の滑らかでノードを持つ曲線の周期の積をすべて含む。これは、$v(4)=10$ を超える偶数シータ定数がそのような点上で消失するためである。
• $\mathcal{A}_5^*$ における $D_H$ の閉包は、$g_1+g_2=5$ である形の $\operatorname{diag}(\tau_1, \tau_2)$ の周期行列上で、$v(5)=66$ を超える偶数シータ定数が消失するため、すべてのこのような周期の積を含む。
• $\mathcal{M}_4$ において $\Theta_{\text{null}} \cap D_1 \cap D_H$ は空であり、$\mathcal{M}_5$ において $\Theta_{\text{null}} \cap D_1 \cap D_T \cap D_H$ は空である。これにより、開被覆の条件が保証される。
• $\mathcal{M}_g \setminus D_H$ および $\mathcal{M}_g \setminus D_T$ はアフィンである。なぜなら、$\mathcal{A}_g^*$ における $D_H$ および $D_T$ の閉包が、関連する周期の積の境界ストラトを含むからである。