[論文レビュー] An Algebraic Approach to a Class of Rank-Constrained Semi-Definite Programs With Applications

Matthew W. Morency, Sergiy A. Vorobyov|arXiv (Cornell University)|Oct 7, 2016

Antenna Design and Optimization参考文献 1被引用数 3

ひとこと要約

本論文は、実用的制約（例：ノルム形状制約）によって強制される多項式構造を活用することで、ランク制約付き半定値計画問題（SDP）を正確に解く代数的手法を提案する。解空間を所望のランクと等しい次元の多項式空間に制限することで、問題は凸的になり、正確に解けるようになる。単純な行列分解により元の解が回復可能であり、従来の手法と比較してビームフォーミング応用における sidelobe 抑制を顕著に向上させることを実証した。

ABSTRACT

A new approach to solving a class of rankconstrained semi-definite programming (SDP) problems, which appear in many signal processing applications such as transmit beamspace design in multiple-input multiple-output (MIMO) radar, downlink beamforming design in MIMO communications, generalized sidelobe canceller design, phase retrieval, etc., is presented. The essence of the approach is the use of underlying algebraic structure enforced in such problems by other practical constraints such as, for example, null shaping constraint. According to this approach, instead of relaxing the non-convex rankconstrained SDP problem to a feasible set of positive semidefinite matrices, we restrict it to a space of polynomials whose dimension is equal to the desired rank. The resulting optimization problem is then convex as its solution is required to be full rank, and can be efficiently and exactly solved. A simple matrix decomposition is needed to recover the solution of the original problem from the solution of the restricted one. We show how this approach can be applied to solving some important signal processing problems that contain null-shaping constraints. As a byproduct of our study, the conjugacy of beamfoming and parameter estimation problems leads us to formulation of a new and rigorous criterion for signal/noise subspace identification. Simulation results are performed for the problem of rank-constrained beamforming design and show an exact agreement of the solution with the proposed algebraic structure, as well as significant performance improvements in terms of sidelobe suppression compared to the existing methods.

研究の動機と目的

• 主に信号処理応用で生じる非凸的でランク制約付き半定値計画問題（SDP）を解く課題に対処すること。
• 通常の凸緩和手法ではランク不足の解を回復できないという限界を克服すること。
• 実用的問題に内在する代数的構造（例：ノルム形状制約）を活用して、非凸 SDP を凸問題に再定式化すること。
• 緩和を用いずにランク制約付き SDP を正確かつ効率的に解ける手法を開発すること。
• ビームフォーミングとパrameter推定問題の共役性を基に、信号／雑音部分空間同定の厳密な基準を確立すること。

提案手法

• 本手法は、ランク制約付き SDP の解空間を、所望のランクと等しい次元を持つ多項式空間に制限する。
• この制限により、非凸問題が多項式空間上の凸最適化問題に変換され、フルランク解が保証される。
• ノルム形状制約などの制約が誘発する代数的構造を活用して、凸最適化により解が得られる。
• 単純な行列分解を用いて、フルランクの多項式空間解から元の低ランク解が回復される。
• 代数幾何学に基づくアプローチであり、緩和を避けてランク制約を保持する。
• 本手法はビームフォーミングおよび位相再構成問題に適用され、正確な回復と優れた性能が実証された。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ランクが硬い制約である場合に、凸緩和を用いずにランク制約付き SDP を正確に解く方法は何か？
• RQ2 実用的信号処理問題において、非凸 SDP を凸問題に再定式化するために活用できる代数的構造は何か？
• RQ3 ビームフォーミングとパrameter推定問題の共役性は、信号／雑音部分空間同定の新たな基準をどのように導くか？
• RQ4 提案手法は、従来の緩和に基づくアプローチと比較して、ビームフォーミング応用における優れた sidelobe 抑制を達成できるか？
• RQ5 多項式空間は、低ランク SDP の正確かつ効率的な解法を可能にする役割を果たすか？

主な発見

• 提案手法は、ランク制約付きビームフォーミング問題において解の正確な回復を達成し、シミュレーション結果では期待される代数的構造と完全に一致した。
• 従来の凸緩和に基づくビームフォーミング手法と比較して、sidelobe 抑制の面で顕著な改善が示された。
• 緩和を用いずに低ランク解を正確に回復でき、標準的な SDP 緩和手法で一般的に生じるランク不足の問題を回避した。
• ビームフォーミングとパrameter推定問題の共役性に基づき、信号／雑音部分空間同定のための新たな厳密な基準が策定された。
• 多項式空間上での問題の再定式化により、凸性が保たれ、計算が効率的になった。
• 一般化サイド lob キャンセラ設計や位相再構成など、類似の代数的制約を持つ他の問題へも一般化可能である。