[論文レビュー] An algebraic approach to multidimensional minimax location problems with Chebyshev distance

Nikolai Krivulin|arXiv (Cornell University)|Nov 11, 2012

Advanced Optimization Algorithms Research参考文献 17被引用数 13

ひとこと要約

本稿では、イデムポテン法による代数的アプローチを用いて、チービシェフ距離を用いた多次元ミニマックス単一施設配置問題を解く新しい手法を提示する。問題をイデムポテン半体における固有値・固有ベクトル計算に再定式化することで、非制約および制約付き問題の閉形式解が得られ、ミニマックス最適化が非可約行列のスペクトル解析に還元される。

ABSTRACT

Minimax single facility location problems in multidimensional space with Chebyshev distance are examined within the framework of idempotent algebra. The aim of the study is twofold: first, to give a new algebraic solution to the location problems, and second, to extend the area of application of idempotent algebra. A new algebraic approach based on investigation of extremal properties of eigenvalues for irreducible matrices is developed to solve multidimensional problems that involve minimization of functionals defined on idempotent vector semimodules. Furthermore, an unconstrained location problem is considered and then represented in the idempotent algebra settings. A new algebraic solution is given that reduces the problem to evaluation of the eigenvalue and eigenvectors of an appropriate matrix. Finally, the solution is extended to solve a constrained location problem.

研究の動機と目的

• チービシェフ距離を伴う多次元ミニマックス配置問題に対する新しい代数的解法の開発。
• イデムポテン法の適用範囲を施設配置分野における複雑な最適化問題へ拡張すること。
• 非可約行列のスペクトル理論を用いて、非制約および制約付きミニマックス配置問題を解くこと。
• 多次元施設配置問題に対して、計算的に効率的かつ解析的に取り扱いやすいフレームワークを提供すること。

提案手法

• 半体 ℝ_max,+ 上のイデムポテン代数の文脈において、ミニマックス配置問題を定式化する。
• チービシェフ距離を、ベクトル演算および行列乗算を含む代数的表現で表現する。
• 非制約問題を固有値問題に変換する：φ₀(x) = x⁻p₀ ⊕ q₀⁻x を最小化し、λ₀ = (q₀⁻p₀)¹ᐟ² により解く。
• 最大距離に関する制約を導入するため、組み合わせられたベクトル p₁ および q₁⁻ を構築し、p = λ₀⁻¹p₀ ⊕ p₁ および q⁻ = λ₀⁻¹q₀⁻ ⊕ q₁⁻ を用いて元の問題と統合する。
• 制約付き問題を、新しい固有値 λ = (q⁻p)¹ᐟ² の計算により解き、αᵢ ∈ [0,1] の関数として解ベクトルを導出する。
• 変換 x = α(p - λ) + (1-α)(q + λ) を用いて、すべての妥当な αᵢ に対して解の集合を表現する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 チービシェフ距離を伴う多次元ミニマックス配置問題は、どのようにイデムポテン代数を用いて再定式化できるか？
• RQ2 非線形ミニマックス問題をイデムポテン半モジュールにおける線形固有値問題に還元可能にする代数的構造は何か？
• RQ3 計算的取り扱いやすさを損なわずに、最大チービシェフ距離に関する制約を代数的枠組みに組み込む方法は何か？
• RQ4 チービシェフ距離を伴う制約付き多次元ミニマックス問題の解集合の解析的形は何か？
• RQ5 イデムポテン代数における非可約行列のスペクトル的性質は、一般の配置問題を効率的に解くために活用可能か？

主な発見

• 非制約ミニマックス問題は、固有値 λ₀ = (q₀⁻p₀)¹ᐟ² およびそれに対応する固有ベクトルの計算により解かれ、最適な施設配置が得られる。
• 制約付き問題では、最小値が λ = (q⁻p)¹ᐟ² で与えられ、p および q⁻ は元のベクトルと制約ベクトルの重み付き組み合わせから構成される。
• 解集合は一意ではなく、αᵢ ∈ [0,1] によってパラメータ化されており、最適な配置は ℝⁿ 内の線分上に存在する。
• 解ベクトルは x = α(p - λ) + (1-α)(q + λ) として表現され、p および q は施設点および距離制限の重み付き最大・最小から導かれる。
• 実行可能集合が空の場合、非制約問題を解き、交差を確認することで近似解が得られる。
• 本手法は、以前の一次元および最大分離型手法を一般化し、より広範なクラスの多次元配置問題を解けるように拡張する。