[論文レビュー] An algebraic approach to the quantization of cosntrained systems: finite dimensional examples

Ranjeet S. Tate|arXiv (Cornell University)|Apr 30, 1993

Relativity and Gravitational Theory参考文献 11被引用数 15

ひとこと要約

本稿は、物理的演算子のエルミート性条件に基づき物理的内積を定義する代数的量子化フレームワークを導入し、第二級制約における曖昧性を解消し、非正準変数の一貫した量子化を可能にする。有限次元モデル、特に相対論的宇宙論に適用することで、従来の量子化で見られた物理的でない特徴を排除し、ハミルトニアンが恒等的にゼロとなる系（例えばビアンキIモデル）に対しても一貫した量子理論を提供する。

ABSTRACT

From the point of view of canonical quantum gravity, it has become imperative to find a framework for quantization which provides a {\em general} prescription to find the physical inner product, and is flexible enough to accommodate non-canonical variables. In this dissertation I consider an algebraic formulation of the Dirac approach to the quantization of constrained systems, due to A. Ashtekar. The Dirac quantization program is augmented by a general principle to find the inner product on physical states. Essentially, the Hermiticity conditions on physical operators determine this inner product. I also clarify the role in quantum theory of possible algebraic identities between the elementary variables. I use this approach to quantize various finite dimensional systems. Some of these models test the new aspects of the algebraic framework. Others bear qualitative similarities to \gr, and may give some insight into the pitfalls lurking in \qg. In (spatially compact) general relativity, the Hamiltonian is constrained to vanish. I present various approaches one can take to obtain an interpretation of the quantum theory of such ``dynamically constrained'' systems. I apply some of these ideas to the Bianchi I cosmology, and analyze the issue of the initial singularity in quantum theory.

研究の動機と目的

• 背景構造に依存しない一般化された制約系の量子化フレームワークを構築すること。これは量子重力において不可欠である。
• 時間変数や背景計量が存在しない場合に、正準量子重力における物理的内積を定義する曖昧性を解消すること。
• アインシュタインの一般相対性理論のアシュテカール形式において一般的に現れる非正準変数間の代数的恒等式を、一貫した量子化スキーム内で取り扱うこと。
• ハミルトニアンが恒等的にゼロとなる系（一般相対性理論や量子宇宙論におけるものなど）の量子化の体系的手段を提供すること。
• アシュテカール＝ホリワッツモデルなどのモデルの従来の量子化が示す物理的でない特徴を、演算子のエルミート性から導かれる一貫した内積を用いることで解消すること。

提案手法

• 物理的内積は物理的演算子のエルミート性条件から導かれ、量子理論のユニタリティおよび観測可能性と整合性を保証する。
• 分布的状態空間を用い、物理的状態は制約演算子方程式 $\hat{z}_1 \circ \Psi = 0$ の解として定義される。
• 内積は重み関数 $\mu = e^{-z_1\bar{z}_1}$ を用いて構成され、物理的状態の正規化可能性を保証する。
• 第二級制約は古典的に同値であると見なさず、量子演算子として扱い、内積による射影を通じて作用を処理することで、物理的演算子代数の一貫性を達成する。
• この方法により、物理的状態上で $\hat{\bar{z}}_1|_{\text{phy}}$ がゼロ作用を果たす物理的演算子代数が構成可能であり、$\hat{\bar{z}}_1$ 自体が物理的状態を消滅させないにもかかわらず、内積による射影を通じてその作用が消える。
• このフレームワークは、ビアンキI宇宙論を含む有限次元モデルに適用され、量子重力における初期特異点と時間の不在の解析がなされる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 背景計量や時間変数が存在しない制約系において、一貫した物理的内積をどのように定義できるか？
• RQ2 一般相対性理論における非正準変数間の代数的恒等式を、量子理論で一貫して取り扱えるか？
• RQ3 なぜ従来の量子化ではアシュテカール＝ホリワッツモデルなどのモデルに物理的でない特徴が現れるのか？そしてそれらは解消可能か？
• RQ4 空間的にコンパクトな一般相対性理論におけるように、ハミルトニアンが恒等的にゼロとなる系の量子理論をどのように構築できるか？
• RQ5 ハミルトニアン制約がゼロとなる量子理論において、時間と力学の物理的解釈は何か？

主な発見

• 第二級制約を持つモデルは、従来は物理的でない結果をもたらしたが、エルミート性から導かれる内積を用いることで一貫性が保証され、余分な特徴が排除される。
• 物理的状態は内積 $\langle \Psi | \Phi \rangle = \int \bar{\Psi} \Phi \, e^{-z_1\bar{z}_1} \, dz_1 d\bar{z}_1$ に関して正規化可能であり、明確な定義された量子理論を保証する。
• $\hat{\bar{z}}_1$ は物理的状態を消滅させないが、物理的部分空間への射影作用はゼロとなるため、第二級制約の取り扱いが一貫する。
• 物理的演算子代数は射影作用に関して閉じており、物理的状態上で $[\hat{z}_1, \hat{\bar{z}}_1|_{\text{phy}}] = 0$ が成り立つが、CCRはもはや保存されない。
• このフレームワークは、以前未解決であった相対論的宇宙論（ビアンキIモデルを含む）の完全な量子理論を構築できた。
• ビアンキIモデルでは、初期特異点が量子理論において解消され、非特異な量子宇宙論の可能性が示唆される。