[論文レビュー] An algebraic approach to the set of intervals

Nicolas Goze, Elisabeth Remm|ArXiv.org|Sep 30, 2008

Mathematics and Applications参考文献 3被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、実数区間をR²における一般化区間へ拡張することにより、区間の集合にノルム付きベクトル空間構造を導入し、一貫性のある代数的枠組みを可能にする。これにより、一般化除法およびユークリッド除法を含む、区間演算の統一的枠組みを有する4次元結合代数が構築され、古典的区間算術における不整合性が解消される。

ABSTRACT

This paper is devoted to a new approach of the arithmetic of intervals. We present the set of intervals as a normed vector space. We define also a four-dimensional associative algebra whose product gives the product of intervals in any cases. This approach allows to give a notion of divisibility and in some cases an euclidian division. We introduce differential calculus and give some applications.

研究の動機と目的

• 実数区間をR²における一般化区間へ拡張することにより、区間の集合にノルム付きベクトル空間構造を確立する。
• 古典的区間算術における不整合性を解消するため、統一的な代数的枠組みを導入する。
• 区間の端点の符号のすべての組み合わせを一般化する4次元結合代数を定義する。
• 区間枠組み内で除法やユークリッド除法といった代数的演算を可能にする。
• 提案された代数的構造を用いて、線形および非線形プログラミングを区間変数へ拡張する。

提案手法

• 区間をa ≤ bを満たすR²の点(a,b)として表現し、半平面P₁を形成し、R²へ拡張して一般化区間を定義する。
• 半群(IR, +)の対称化により群(R̄IR, +)を構成し、(x,y) ~ (z,t) すなわち x+t = y+z である同値類を用いる。
• 双対写像φ: (a,b) ↦ (b,a)を定義し、一般化区間のカウラー算術を可能にする。
• 基底要素e₁, e₂, e₃, e₄を有する4次元結合代数を導入し、区間乗法のすべての符号ケース（P₁,₁, P₁,₂, P₁,₃）をモデル化する。
• 代数的積を用いて、すべての符号組み合わせにおいて正しい区間乗法への射影を導出し、一貫性を保証する。
• 区間変数を用いた線形および非線形プログラミングを拡張するため、区間値線形写像を定義し、区間ピボット規則を適用した修正されたシンプレックス法を適用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 区間算術は非結合的かつ除法に不向きな性質を持つが、どのようにして一貫性のある単一の代数的構造に統一できるか？
• RQ2 区間の端点の符号のすべての組み合わせをモデル化できる4次元結合代数を構築できるか？
• RQ3 a > bを満たす一般化区間(a,b)を用いて、減法および逆元演算をサポートする群構造を定義できるか？
• RQ4 区間値変数および制約を含む線形プログラミング問題を解くためにシンプレックス法に必要な修正は何か？
• RQ5 提案された代数的枠組みと区間微分を用いて、非線形プログラミングを区間変数にどのように適合できるか？

主な発見

• 区間の集合IRはノルム付きベクトル空間R̄IR ≅ R²に埋め込まれ、一般化区間を要素とする加法群を形成する。
• 双対写像φ: (a,b) ↦ (b,a)により、カウラー算術が構成され、一貫性のある減法および逆元演算が可能になる。
• 基底要素e₁, e₂, e₃, e₄を有する4次元結合代数が構築され、その積構造によりすべての符号ケースにおける区間乗法がモデル化される。
• 代数的積は、1つまたは両方の区間が0をはさんでいる場合を含め、すべてのケースで正しい区間乗法へと射影される。
• 修正されたシンプレックス法は、区間長比に基づくピボット選択により、区間形の右辺の正の性質を維持する。
• 非線形プログラミングにおいては、最適解は区間値パrameter空間におけるf′(X₀) = 0を解くことで得られ、古典的最適性条件が拡張される。