[論文レビュー] An Algebraic Study of Averaging Operators

Weili Cao|arXiv (Cornell University)|Jan 29, 2014

Advanced Topics in Algebra参考文献 12被引用数 17

ひとこと要約

本稿では、f(xf(y)) = f(x)f(y) を満たす平均化作用素（線形写像）の代数的性質を、代数および集合の上での自由平均化代数の構成と、その構造的性質の確立によって研究する。主な貢献の一つは、核と交換子部分代数に関する条件のもとで、このような作用素が Lie 代数構造を誘導するための特徴付けであり、ker(f) = [A,A]_f が成り立つための必要十分条件として、φ⁻¹(ker(f)) = ker(f_X) + ker(φ) が示されている。

ABSTRACT

A module endomorphism $f$ on an algebra $A$ is called an averaging operator if it satisfies $f(xf(y)) = f(x)f(y)$ for any $x, y\in A$. An algebra $A$ with an averaging operator $f$ is called an averaging algebra. Averaging operators have been studied for over one hundred years. We study averaging operators from an algebraic point of view. In the first part, we construct free averaging algebras on an algebra $A$ and on a set $X$, and free objects for some subcategories of averaging algebras. Then we study properties of these free objects and, as an application, we discuss some decision problems of averaging algebras. In the second part, we show how averaging operators induce Lie algebra structures. We discuss conditions under which a Lie bracket operation is induced by an averaging operator. Then we discuss properties of these induced Lie algebra structures. Finally we apply the results from this discussion in the study of averaging operators.

研究の動機と目的

• 代数および集合の上での自由対象の構成を通じて、平均化代数の圏論的枠組みを構築すること。
• 自由対象の性質を用いて、平均化代数における決定問題を調査すること。
• 平均化作用素が交換子 [a,b]_f = f(ab) - f(a)f(b) を用いて Lie 代数構造を誘導するための代数的条件を探索すること。
• 平均化作用素の核を交換子部分代数および準同型を用いて特徴付けること。
• 平均化写像の核と像の構造的性質の間の同値関係を確立すること。

提案手法

• 普遍写像性質を用いて、集合 X 上の自由平均化代数 (F_X, f_X) を構成する。
• 交換子 [a,b]_f = f(ab) - f(a)f(b) を定義し、部分代数 [A,A]_f を生成する。
• 全射平均化準同型 φ: (F_X, f_X) → (A,f) を用いて、自由代数と任意の平均化代数を関連付ける。
• 持ち上げ性質を用いて、f の核と f_X の像、および φ の核の関係を分析する。
• f_X(ker(φ)) ⊆ ker(φ) ∩ f_X(F_X) および ker(f_X) ⊆ φ⁻¹(ker(f)) を証明する。
• 同値条件を確立する：ker(f) = [A,A]_f が成り立つための必要十分条件は、φ⁻¹(ker(f)) = ker(f_X) + ker(φ) であり、同様に ker(φ) ∩ f_X(F_X) = f_X(ker(φ)) である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 平均化作用素 f の核が交換子部分代数 [A,A]_f に等しくなるための条件は何か？
• RQ2 商代数における f の核と、自由平均化代数および準同型 φ の核との関係は何か？
• RQ3 代数上の平均化作用素が、交換子 [a,b]_f = f(ab) - f(a)f(b) を用いていつ Lie 代数構造を誘導するか？
• RQ4 全射準同型の文脈において、f_X の像と φ の核の正確な関係は何か？
• RQ5 自由代数の構成と準同型の持ち上げを用いて、f の核の構造を完全に特徴付けられるか？

主な発見

• 平均化作用素 f に対して、ker(f) = [A,A]_f が成り立つための必要十分条件は、φ⁻¹(ker(f)) = ker(f_X) + ker(φ) が成り立つことである。
• φ の核の f_X による像は、ker(φ) および f_X(F_X) の両方に含まれる。すなわち、f_X(ker(φ)) ⊆ ker(φ) ∩ f_X(F_X) が成り立つ。
• 任意の全射平均化準同型 φ: (F_X, f_X) → (A,f) に対して、φ⁻¹(ker(f)) は ker(f_X) および ker(φ) を含む。したがって、φ⁻¹(ker(f)) ⊇ ker(f_X) + ker(φ) が成り立つ。
• w ∈ φ⁻¹(ker(f)) ならば、核の条件が成り立つ限り、w = u + v（u ∈ ker(f_X), v ∈ ker(φ)）と分解可能である。
• ker(φ) ∩ f_X(F_X) = f_X(ker(φ)) であるという条件は、ker(f) = [A,A]_f であることに同値である。
• 自由平均化代数の構成により、任意の平均化代数における決定問題を自由な状況における問題に還元できる。