[論文レビュー] An algorithm for calculating the set of superhedging portfolios and strategies in markets with transaction costs

Andreas Löhne, Birgit Rudloff|arXiv (Cornell University)|Jul 28, 2011

Stochastic processes and financial applications被引用数 15

ひとこと要約

本稿では、比例取引コストを伴う離散時間モデルにおける複数資産のスーパーヘッジポジションおよび戦略の集合を計算するための再帰的アルゴリズムを提案する。問題をイベントツリー上で後退的に再定式化し、ベクトル最適化を用いて解くことで、取引コストを伴うマルチアセットスーパーヘッジングの数値計算が可能となり、戦略の前向き再構成と、双対理論によるスカラーヘッジングとの関連が得られる。

ABSTRACT

We study the explicit calculation of the set of superhedging portfolios of contingent claims in a discrete-time market model for d assets with proportional transaction costs. The set of superhedging portfolios can be obtained by a recursive construction involving set operations, going backward in the event tree. We reformulate the problem as a sequence of linear vector optimization problems and solve it by adapting known algorithms. The corresponding superhedging strategy can be obtained going forward in the tree. Examples are given involving multiple correlated assets and basket options. Furthermore, we relate existing algorithms for the calculation of the scalar superhedging price to the set-valued algorithm by a recent duality theory for vector optimization problems. The main contribution of the paper is to establish the connection to linear vector optimization, which allows to solve numerically multi-asset superhedging problems under transaction costs.

研究の動機と目的

• 比例取引コストを伴うマルチアセット市場における、スーパーヘッジポジションの完全な集合を数値的に扱える方法の開発。
• 計算可能性を確保するため、スーパーヘッジング問題を線形ベクトル最適化問題の系列に再定式化すること。
• 後退的計算後にイベントツリーを前向きに走査することで、スーパーヘッジ戦略を再構成可能にする。
• 最近のベクトル最適化における双対理論を用いて、スカラーヘッジング価格と提案された集合値アプローチとの理論的関連を確立すること。
• 現実的で取引コストが影響を及える市場における、継続的クレームの価格設定とヘッジの実用的フレームワークを提供すること。

提案手法

• 問題は、イベントツリーを後退的に処理することで再帰的に解かれ、各ノードで集合演算を適用してスーパーヘッジポジションの集合を特定する。
• 後退的再帰の各段階は、既知のアルゴリズムを活用できる線形ベクトル最適化問題として定式化される。
• 各ノードでの解法には、将来のポートフォリオ制約と資産ポジションを表す集合の積集合とミンコフスキー和の計算が含まれる。
• 後退的計算後、計算済みのポートフォリオ集合を用いて、ツリーを前向きに走査してスーパーヘッジ戦略を再構成する。
• ベクトル最適化の双対理論を用いて、集合値解がスカラーヘッジング価格とどのように関連するかを示す。
• 相関資産およびバスケットオプションを含む例を通じて、手法の数値的妥当性が検証された。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 比例取引コストを伴うマルチアセット市場において、スーパーヘッジポジションの集合をどのように効率的に計算できるか？
• RQ2 取引コストが存在する状況下で、集合値スーパーヘッジングとスカラーヘッジング価格の間にはどのような関係があるか？
• RQ3 線形ベクトル最適化技術は、取引コストを伴うマルチアセットスーパーヘッジング問題に効果的に適応可能か？
• RQ4 計算済みのポートフォリオ集合から、対応するスーパーヘッジ戦略をどのように再構成できるか？
• RQ5 ベクトル最適化における双対理論は、スカラーヘッジングと集合値ヘッジング解を結ぶ役割を果たすか？

主な発見

• 提案されたアルゴリズムにより、比例取引コストを伴うマルチアセットデリバティブにおける、スーパーヘッジポジションの完全な集合の数値的計算が可能となった。
• 問題は線形ベクトル最適化問題の系列に再定式化され、既存の解法手法に適合可能となった。
• 集合演算を伴う後退的再帰により、イベントツリー全体にわたるポートフォリオ制約の正確な追跡が可能となった。
• 戦略の前向き再構成により、計算されたポートフォリオが実際の実行可能性を満たすことが保証された。
• 双対理論を用いた関連付けにより、集合値アプローチの妥当性が裏付けられた。
• バスケットオプションおよび相関資産を含む例から、手法の実行可能性と現実的市場設定への適用可能性が確認された。