[論文レビュー] An algorithm for deciding reducibility

Mark C. Bell|arXiv (Cornell University)|Mar 12, 2014

Geometric and Algebraic Topology参考文献 8被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、多様体のマルチカーブへの写像類群作用を三角形分割を用いて符号化することにより、マーク付き曲面上の写像類が可約であるかどうかを決定するアルゴリズムを提示する。可約性は、語長に指数関数的に依存する時間で決定可能であり、標準的曲線系のサイズが語長に対して指数関数的に抑えられることを示し、問題がNPに属することを示している。

ABSTRACT

For a marked surface we construct a description of the action of the mapping class group on the set of multicurves via a triangulation. We use this encoding to give an algorithm to determine if a mapping class is reducible in time exponential in the word length with respect to some fixed generating set. We go on to show that a reducible mapping class fixes a maximal multicurve whose size is at most exponential in the word length. From this we deduce that determining if a mapping class is reducible is a problem in NP. Moreover, this shows that the size of the canonical curve system of a mapping class is also at most exponential in the word length.

研究の動機と目的

• マーク付き曲面上の写像類が可約であるかどうかを判定するためのアルゴリズムの開発。
• 三角形分割に基づく符号化を用いて、写像類群のマルチカーブへの作用を記述すること。
• 語長の観点から、写像類の標準的曲線系のサイズを上限づけること。
• 語長に指数関数的に依存するサイズの証明書が存在することを示すことにより、可約性問題がNPに属することを確立すること。

提案手法

• 曲面の三角形分割を用いて、写像類群のマルチカーブへの作用を符号化すること。
• 三角形分割を用いて、写像類およびそのマルチカーブへの作用を計算可能な形で表現すること。
• 三角形分割およびマルチカーブ構造への誘導作用を分析することで、可約性をチェックするアルゴリズムを構築すること。
• 可約な写像類が、語長の指数関数的関数で上限づけられる最大のマルチカーブを固定することを証明すること。
• 標準的曲線系のサイズが有界であることを利用し、可約性の決定問題がNPに属することを示すこと。
• 固定生成集合に関して、標準的曲線系のサイズが語長の指数関数的関数で上限づけられることを確立すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 写像類群作用の三角形分割に基づく符号化を用いて、写像類の可約性をアルゴリズム的に決定できるか？
• RQ2 語長の観点から、写像類に関連する標準的曲線系の最大サイズは何か？
• RQ3 写像類が可約であるかどうかを判定する問題が、複雑度クラスNPに属するか？
• RQ4 写像類群のマルチカーブへの作用の構造は、そのクラスの語長とどのように関係するか？

主な発見

• 固定生成集合に関して、語長に指数関数的に依存する時間で、可約性が決定可能である。
• 可約な写像類は、語長に指数関数的に依存するサイズの最大マルチカーブを固定する。
• 写像類の標準的曲線系のサイズは、語長の指数関数的関数によって上から抑えられる。
• 証明書のサイズが語長に指数関数的に依存するため、写像類の可約性を判定する問題はNPに属する。
• 三角形分割に基づく符号化は、マルチカーブへの写像類群作用の有限かつ計算可能な表現を提供する。
• 結果として、語長と写像類群ダイナミクスにおける構造的複雑性の間のきつい関係が確立される。