[論文レビュー] An algorithm for dividing two complex numbers

Aleksandr Cariow|arXiv (Cornell University)|Aug 26, 2016

Numerical Methods and Algorithms参考文献 4被引用数 3

ひとこと要約

本論文は、複素数の除算に新たなアルゴリズムを提示する。標準的手法における4つの実数乗算を3つに削減する一方で、加算を3つから6つに増加させる。この方法は代数的変形による有理化を通じて除算プロセスを合理化し、乗算が高コストとなるハードウェア実装および数値計算の文脈で計算効率を向上させる。

ABSTRACT

In this work a rationalized algorithm for calculating the quotient of two complex numbers is presented which reduces the number of underlying real multiplications. The performing of a complex number division using the naive method takes 4 multiplications, 3 additions, 2 squarings and 2 divisions of real numbers while the proposed algorithm can compute the same result in only 3 multiplications ( or multipliers in hardware implementation case), 6 additions, 2 squarings and 2 divisions of real numbers.

研究の動機と目的

• 複素数除算の計算コスト、特に必要な実数乗算の数を低減すること。
• 乗算操作が高価なハードウェア実装において効率を向上させること。
• 標準的手法の代替として、正確性を保ちつつ算術演算を削減する合理化された手法を提供すること。
• 複素数演算における乗算、加算、自乗、除算のバランスを最適化すること。
• 組み込みシステムおよびハイパフォーマンスコンピューティング環境で実用的であるアルゴリズムを提示すること。

提案手法

• アルゴリズムは、実数乗算の数を最小限に抑えるために、代数的有理化を用いて標準的な複素数除算の式を再定式化する。
• 2つの複素数の商を有理化された分数として表現し、4つの乗算を直接計算するのを回避する。
• 因数分解および代入技術を用いることで、商の実部および虚部を3つの実数乗算のみで計算する。
• 分母の大きさのための2つの自乗、2つの除算を保持し、加算を6つに増加させることで演算数のバランスを改善する。
• 恒等式 (a + bi)/(c + di) = [(a c + b d) + i(b c - a d)] / (c² + d²) に基づき、戦略的なグループ化を施して最適化する。
• 乗算器の数を最小限に抑えることが面積およびパワー効率にとって極めて重要なハードウェア環境で直接実装可能であるように設計されている。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 複素数除算に必要な実数乗算の数を標準的な4つを下回ることは可能か？
• RQ2 複素数除算において乗算を最小限に抑えると、加算その他の演算にどのようなトレードオフが生じるか？
• RQ3 代数的有理化をどのように応用することで、より効率的な複素数除算アルゴリズムを導出できるか？
• RQ4 提案されたアルゴリズムは、ハードウェアまたは組み込みシステムにおいてどの程度性能を向上させるか？
• RQ5 実用的応用において、加算の増加を補っても乗算の削減が正当化されるか？

主な発見

• 提案されたアルゴリズムにより、実数乗算の数が4つから3つに削減され、計算効率の向上が顕著である。
• ナード型手法と比較して、加算は6つに増加しているが、これは加算と乗算の間のトレードオフを示している。
• 自乗の数は2つで変化せず、除算も2つで変化しない。これらは複素数除算プロセスに内在するものである。
• 乗算の数を最適化しながらも数値的正確性を維持しており、リソース制限のある環境に適している。
• 乗算器が面積およびパワーの点で高コストとなるハードウェア実装において特に有利である。
• 乗算が計算コストの主因となる状況において、全体の演算数が最適化されている。