[論文レビュー] An algorithm for optimal transport between a simplex soup and a point cloud

Quentin Mérigot, Jocelyn Meyron+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 5, 2017

Point processes and geometric inequalities参考文献 20被引用数 33

ひとこと要約

本稿では、2次元からd次元の単体の和集合に支持される単体的測度とℝᵈ内の離散的点群の間の最適輸送写像を計算するための減衰ニュートン法を提示する。この手法はラゲール図に基づく非線形方程式系を解き、一般性および連結性の条件下で線形収束を示し、表面量子化、リメッシュ、点群登録などの応用が可能となる。ICPに比べて収束性が向上する。

ABSTRACT

We propose a numerical method to find the optimal transport map between a measure supported on a lower-dimensional subset of R^d and a finitely supported measure. More precisely, the source measure is assumed to be supported on a simplex soup, i.e. on a union of simplices of arbitrary dimension between 2 and d. As in [Aurenhammer, Hoffman, Aronov, Algorithmica 20 (1), 1998, 61--76] we recast this optimal transport problem as the resolution of a non-linear system where one wants to prescribe the quantity of mass in each cell of the so-called Laguerre diagram. We prove the convergence with linear speed of a damped Newton's algorithm to solve this non-linear system. The convergence relies on two conditions: (i) a genericity condition on the point cloud with respect to the simplex soup and (ii) a (strong) connectedness condition on the support of the source measure defined on the simplex soup. Finally, we apply our algorithm in R^3 to compute optimal transport plans between a measure supported on a triangulation and a discrete measure. We also detail some applications such as optimal quantization of a probability density over a surface, remeshing or rigid point set registration on a mesh.

研究の動機と目的

• 下位次元の単体的測度と離散的点群の間の最適輸送を扱う堅牢な数値アルゴリズムの開発。
• 標準のブレニエ理論が適用できない低次元の単体（例：辺や面）に支持される測度を扱う際の理論的および数値的課題の解決。
• この退化した設定における半離散的最適輸送問題を解くための減衰ニュートン法の線形収束の証明。
• 表面量子化、リメッシュ、剛体点群登録などの幾何処理タスクに応用可能な実用的な計算フレームワークの提供。

提案手法

• 各ラゲール細胞の質量を指定することにより、最適輸送問題を非線形方程式系に再定式化する。
• G(ψ) = ν という方程式系を減衰ニュートン法で解く。ここで Gᵢ(ψ) = μ(Lagᵢ(ψ)) はi番目のラゲール細胞の測度を表す。
• 収束性は2つの条件のもとで確立される：点群が単体ソウプに対して一般的であること、および源測度の支持集合が強く連結であること。
• Gが凹関数の勾配であるという事実を活用し、ニュートン反復の適切な定式化と単調性を保証する。
• ラゲール細胞の重心に基づく点群の更新を繰り返し行うことで、最適量子化、リメッシュ、登録といった上位レベルのタスクにアルゴリズムを適用する。
• 単体上での数値積分と、ℝᵈにおけるボロノイ型構成を用いたラゲール図の計算により実装を行う。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 下位次元の単体的測度と離散的点群の間の最適輸送に対して、減衰ニュートン法が線形収束するか？
• RQ2 この退化した設定において、最適輸送写像の存在と一意性を保証する幾何的およびトポロジカル条件は何か？
• RQ3 源測度が低次元単体の和集合に支持される場合、最適輸送写像を効率的に計算する方法は何か？
• RQ4 このアルゴリズムは、上位レベルの幾何処理タスクの構築ブロックとしてどれほど再利用可能か？
• RQ5 ICPにおける最近傍探索を最適輸送に基づく割り当てに置き換えると、収束速度が向上するか？

主な発見

• 一般性および連結性の条件下で、減衰ニュートン法は単体的測度と点群の間の半離散的最適輸送問題の解に線形収束する。
• 源測度が2次元または1次元単体に支持される場合でも、この手法はブレニエの定理の低次元における限界を克服して最適輸送写像を正しく計算できる。
• 最適量子化では、このアルゴリズムは三角形分割された表面のターゲット密度との Wasserstein 距離を局所的に最小化する点群を生成する。
• リメッシュでは、三角形密度が与えられた源測度に従う表面メッシュを生成し、有限要素離散化の品質を向上させる。
• 剛体点群登録では、OT-ICP のバージョンが標準 ICP と比較して3回の反復で収束する一方、残差誤差はわずかに高いが、収束速度が顕著に向上している。
• 50～1000点の問題に対して、計算時間は4反復で3秒から14反復で74秒まで変動し、中程度の入力サイズにおいてスケーラブルであることが示された。