[論文レビュー] An algorithm for the T-count

David Gosset, Vadym Kliuchnikov+2 more|arXiv (Cornell University)|Aug 19, 2013

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 3被引用数 11

ひとこと要約

本稿では、n-qubit のユニタリ U の T-count を、Clifford+T 回路において、時間と空間が O(N^m poly(m,N)) で抑えられる古典的アルゴリズムを提示する。ここで N=2^n であり、m は目標とする T-count である。このアルゴリズムは、特殊な Clifford+T ゲート表現を用いたミートインザミドル戦略を採用しており、Toffoli ゲートと Fredkin ゲートがそれぞれ正確に 7 個の T ゲートを必要とすることを証明し、T-最適性を確認した。

ABSTRACT

We consider quantum circuits composed of Clifford and T gates. In this context the T gate has a special status since it confers universal computation when added to the (classically simulable) Clifford gates. However it can be very expensive to implement fault-tolerantly. We therefore view this gate as a resource which should be used only when necessary. Given an n-qubit unitary U we are interested in computing a circuit that implements it using the minimum possible number of T gates (called the T-count of U). A related task is to decide if the T-count of U is less than or equal to m; we consider this problem as a function of N=2^n and m. We provide a classical algorithm which solves it using time and space both upper bounded as O(N^m poly(m,N)). We implemented our algorithm and used it to show that any Clifford+T circuit for the Toffoli or the Fredkin gate requires at least 7 T gates. This implies that the known 7 T gate circuits for these gates are T-optimal. We also provide a simple expression for the T-count of single-qubit unitaries.

研究の動機と目的

• Clifford+T ゲートセットにおける n-qubit ユニタリの T-count を効率的に計算する古典的アルゴリズムの開発。
• 与えられた n-qubit ユニタリ U が最大 m 個の T ゲートで実装可能かどうかを特定すること、すなわち COUNT-T 問題を解くこと。
• アーカイブ qubit を使用しない制約下で、基本的多量子ビットゲート（Toffoli および Fredkin）の正確な T-count を確立すること。
• そのチャネル表現を用いて、単一量子ビットユニタリの T-count を特徴付けること。
• 既知の 7-T-gate 回路が、アーカイブ qubit を使用しない制約下で T-最適であることを示すこと。

提案手法

• T-count 最適化のための指数的探索空間を削減するため、ミートインザミドル戦略を用いる。
• T ゲートを分離し、その位置をコセット分解を用いて追跡する正規形を用いて、Clifford+T ユニタリを表現する。
• Clifford 群の群構造を活用して、ユニタリを T ゲートとクリフォード演算子の積に再帰的に分解する。
• k ≤ m に対して、k 個の T ゲートで到達可能なユニタリの同値類を表すコセットデータベース D_k^n を構築し、保存する。
• 左および右からのクリフォード演算子による乗算を用いた二重探索を適用し、目標となるユニタリと既知の T-count を一致させる。
• 任意のユニタリが J_n（Clifford+T 群）に属し、行列要素が Z[i, 1/√2] に属し、n≥4 のとき行列式が 1 である場合、T-count 最小の回路に分解可能であるという事実を利用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 与えられた n-qubit ユニタリ U の Clifford+T ゲートセットにおける T-count を、効率的に計算できるか？
• RQ2 時間と空間が O(N^m poly(m,N)) で抑えられる古典的アルゴリズムが、COUNT-T 問題を解けるか？
• RQ3 アーカイブ qubit を使用しない制約下で、Toffoli ゲートおよび Fredkin ゲートを実装するために必要な最小 T ゲート数は何か？
• RQ4 単一量子ビットユニタリの T-count は、単純な代数的不変量によって特徴付けられるか？
• RQ5 既知の Toffoli ゲートの 7-T-gate 回路が、アーカイブ qubit を使用しない制約下で T-最適であるか？

主な発見

• アルゴリズムは、時間と空間が O(N^m poly(m,N)) で COUNT-T 問題を解くことができ、ここで N=2^n であり、m は目標とする T-count である。
• Toffoli ゲートの T-count は正確に 7 であり、アーカイブ qubit を使用しない場合、既知の 7-T-gate 回路は T-最適である。
• Fredkin ゲートの T-count は正確に 7 であり、同様の制約下で既知の 7-T-gate 回路は T-最適である。
• アルゴリズムは C++ で実装され、m=6 を用いて Toffoli および Fredkin ゲートの T-count 下界が正しく検証された。
• 単一量子ビットユニタリに関しては、そのチャネル表現の sde（最短分解指数）によって T-count が決定される。
• 本稿は、先行研究の予想である「Toffoli ゲートはアーカイブ qubit モデルで少なくとも 7 個の T ゲートを必要とする」という仮説を確認した。