[論文レビュー] An algorithm to recognize regular singular Mahler systems

Colin Faverjon, Marina Poulet|arXiv (Cornell University)|Feb 22, 2021

semigroups and automata theory参考文献 23被引用数 1

ひとこと要約

本稿では、マーラー系が0において正則的特異的であるかどうかを決定する最初のアルゴリズムを提示する。これは、マーラー系の理論における重要な空白を埋めるものである。正則的特異的系を解空間の有限次元部分空間を用いて特徴付け、ゲージ変換基準を用いることで、定数系との同値性を決定する。これによりシュレスラーの密度定理の応用が可能となり、微分および(q-)差分系に対する古典的結果がマーラー設定へと拡張される。

ABSTRACT

This paper is devoted to the study of the analytic properties of Mahler systems at 0. We give an effective characterisation of Mahler systems that are regular singular at 0, that is, systems which are equivalent to constant ones. Similar characterisations already exist for differential and (q-)difference systems but they do not apply in the Mahler case. This work fills in the gap by giving an algorithm which decides whether or not a Mahler system is regular singular at 0. In particular, it gives an effective characterisation of Mahler systems to which an analog of Schlesinger's density theorem applies.

研究の動機と目的

• マーラー系の特異的理論における空白を埋めること。既存の微分および(q-)差分系のアルゴリズムは、マーラー作用素には適用できない。
• 0において正則的特異的である、すなわちプアセューシリーズ体上のゲージ変換によって定数系と同値となるマーラー系の有効な特徴付けを提供すること。
• 正則的特異的条件が成立する場合にシュレスラーの密度定理をマーラー系に適用可能にするために、その条件を特定すること。
• 解空間の次元性と行列構造に基づいて、実装可能な明示的アルゴリズムを開発し、正則的特異性を決定すること。
• プアセューシリーズ体への制限により、解の解析的挙動を明確にし、中程度の成長性と分岐したメロモーフィック性を保つこと。

提案手法

• 正則的特異的マーラー系を、代数的係数をもつプアセューシリーズ体 K における K 同値な定数系であると定義する。
• マーラー作用素 φ_p の作用を用いて、H（ハーン級数）における方程式 φ_p(Y) = AY の解空間の有限次元部分空間 X_d を構成する。
• 各 d ≥ 1 に対して、p-付値が少なくとも d である解の空間 X_d の次元を計算する。正則的特異的系は、d = 1 で dim X_d が安定化することによって特徴付けられる。
• d を増加させながら X_d の次元を計算し、安定化または上限に達するまで繰り返す。d = 1 で安定化すれば、正則的特異的である。
• X_1 からの解の基底を用いて、φ_p(Ψ)^{-1} A Ψ が定数となるゲージ変換 Ψ ∈ GL_m(K) を適用する。
• 解が K に属する場合、ランデの定理により分岐したメロモーフィック関数であることが保証され、解析的制御が可能になる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 与えられたマーラー系が0において正則的特異的であるかどうかを決定する有効なアルゴリズムを構築可能か。既存の手法はマーラー作用素には適用できない。
• RQ2 解空間構造の観点から、正則的特異的マーラー系の正確な代数的および解析的特徴付けは何か。
• RQ3 シュレスラーの密度定理がマーラー系へと拡張可能となる条件は何か。また、その条件をどのようにアルゴリズム的に特定できるか。
• RQ4 システム行列 A の逆行列 A^{-1} に対して、正則的特異的性質はどのように振る舞うか。A と A^{-1} が両方とも正則的特異的となるような行列 A の特徴付けは存在するか。
• RQ5 正則的特異的性質はマーラー作用素 φ_p の選択に依存するか。固定された A に対して、すべての p あるいは有限個の p に対して正則的特異的であるとは限らないか。

主な発見

• アルゴリズムは、d を増加させながら解空間 X_d の次元を計算することで正則的特異性を決定する。dim X_d が d = 1 で安定化すれば、系は正則的特異的である。
• 例 5.1 の系は 0 において正則的特異的であり、dim X_2 = 2 であり、関連するゲージ変換行列 Ψ は φ_3(Ψ)^{-1} A Ψ = I_2 を満たす。
• ルーディン＝シャイポの列に付随するマーラー系は正則的特異的でない。アルゴリズム 2 は d = 3 および dim X_3 = 1 を返し、アルゴリズム 3 は 'False' を返す。
• 正則的特異的であるが、正則的特異的でない。これは正則的特異的性質が、正則的特異的であるより弱い条件であることを示している。
• 正則的特異的マーラー系の逆行列は、一般に正則的特異的でない。第 5.2 節の反例により、そのことが示された。
• 正則的特異的性質は p の変更によって保存されない。p = 3 に対して正則的特異的である系が、p = 2 または他の値では正則的特異的でないことがある。これは、p に非一様に依存することを示唆している。