[論文レビュー] An algorithm to verify local threshold testability of deterministic finite automata

A. N. Trahtman|arXiv (Cornell University)|May 22, 2021

semigroups and automata theory被引用数 8

ひとこと要約

本稿では、決定的有限オートマトン（DFA）の局所しきい値テスト可能性を検証する最初の多項式時間アルゴリズムを提示する。このアルゴリズムは、積グラフ Γ×Γ および Γ×Γ×Γ における到達可能性と強連結成分（SCC）を分析することで、O(n⁵) 時間で動作する。主な貢献は、状態遷移グラフにおける構造的条件に基づく局所しきい値テスト可能性の特徴付けであり、パターン認識および形式言語理論の応用において効率的なアルゴリズム的検証を可能にする。

ABSTRACT

A locally threshold testable language L is a language with the property that for some non negative integers k and l, whether or not a word u is in the language L depends on (1) the prefix and suffix of the word u of length k > 1 and (2) the set of intermediate substrings of length k of the word u where the sets of substrings occurring at least j times are the same, for j <= L. For given k and L the language is called l-threshold k-testable. A finite deterministic automaton is called l-threshold k-testable if the automaton accepts a l-threshold k-testable language. In this paper, the necessary and sufficient conditions for an automaton to be locally threshold testable are found. We introduce the first polynomial time algorithm to verify local threshold testability of the automaton based on this characterization. New version of polynomial time algorithm to verify the local testability will be presented too.

研究の動機と目的

• 決定的有限オートマトン（DFA）が局所しきい値テスト可能であるための必要十分条件を確立すること。
• 従来の方法が非多項式サイズの半群に依存していたというギャップを埋める、効率的な局所しきい値テスト可能性の検証アルゴリズムを開発すること。
• 自動機の状態遷移グラフ上で直接、実用的で多項式時間の解決策を提供すること。
• より一般化された局所しきい値テスト可能性への先行研究の拡張を通じて、パターン認識および言語モデリングにおけるより広範な応用を可能にすること。

提案手法

• DFA の状態遷移グラフ Γ を構築し、その積グラフ Γ×Γ および Γ×Γ×Γ を計算する。
• Γ、Γ×Γ、Γ×Γ×Γ におけるすべての強連結成分（SCC）を特定し、すべての SCC ノードをマークする。
• Γ および Γ×Γ における到達可能性解析を用いて到達可能性テーブルを構築し、O(n⁴) 時間の計算量を達成する。
• SCC ノードおよび到達可能性関係に関する構造的条件を確認する：(p,q) ≠ (r,s) のとき、p∼q ならば p=q であることを確認し、p≻q の場合に遷移において整合性があることを保証する。
• すべての関連する 5 つの状態の組に対して、T_SCC(p,q,r,r₁) および T_SCC(p,r,q,q₁) が両方非空の場合に等しいことを検証する。
• このアルゴリズムは、積グラフにおけるグラフ理論的条件に基づく局所しきい値テスト可能性の特徴付けに依拠し、O(n⁵) 時間で実行される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 決定的有限オートマトンが局所しきい値テスト可能であるための必要十分条件は何か？
• RQ2 構文的半群を避けて、自動機の状態遷移グラフ上で直接、局所しきい値テスト可能性を多項式時間で検証できるか？
• RQ3 積グラフ Γ×Γ および Γ×Γ×Γ の構造的性質をどのように活用して局所しきい値テスト可能性を特徴付けられるか？
• RQ4 局所しきい値テスト可能性的検証の計算量は何か？ また、O(n⁵) 未満に削減可能か？
• RQ5 局所テスト可能性（l=1）の特殊ケースとして、より高い効率性を持つようにアルゴリズムを適合可能か？

主な発見

• 本稿では、積グラフ Γ×Γ および Γ×Γ×Γ における到達可能性と SCC 構造に基づき、局所しきい値テスト可能性の完全な特徴付けを確立した。
• 特定の SCC ノードおよび到達可能性関係に関する構造的条件をチェックすることに基づき、O(n⁵) 時間のアルゴリズムを提案した。
• 構文的半群に起因する指数的増大を避けて、自動機上で直接局所しきい値テスト可能性を多項式時間で検証できる最初のアルゴリズムである。
• 局所テスト可能性（l=1）の特殊ケースに対しては、より効率的な O(n²) 時間のアルゴリズムを提示し、従来の手法を改善した。
• 理論的にも的確であり、実用的にも適用可能であり、パターン認識、音声認識、形式言語処理への応用が期待される。