[論文レビュー] An algorithm which transforms any Diophantine equation into an equivalent system of equations of the form x_i=1, x_i+x_j=x_k, x_i*x_j=x_k

Apoloniusz Tyszka|arXiv (Cornell University)|Sep 18, 2011

Computability, Logic, AI Algorithms被引用数 1

ひとこと要約

本稿では、特定のディオファントス系の解の有限性と、関数 f(n) によって定義される明示的な上界との間の予想を提示する。この予想が成り立つならば、ディオファントス方程式の整数解および有理数解の有限性を決定するアルゴリズムを構築可能であり、有限重複のディオファントス表現は計算可能性を意味することを示し、数論における決定可能性および計算可能性理論の進展をもたらす。

ABSTRACT

Let f(1)=1, and let f(n+1)=2^{2^{f(n)}} for every positive integer n. We conjecture that if a system S \subseteq {x_i \cdot x_j=x_k: i,j,k \in {1,...,n}} \cup {x_i+1=x_k: i,k \in {1,...,n}} has only finitely many solutions in non-negative integers x_1,...,x_n, then each such solution (x_1,...,x_n) satisfies x_1,...,x_n \leq f(2n). We prove: (1) the conjecture implies that there exists an algorithm which takes as input a Diophantine equation, returns an integer, and this integer is greater than the heights of integer (non-negative integer, positive integer, rational) solutions, if the solution set is finite, (2) the conjecture implies that the question whether or not a Diophantine equation has only finitely many rational solutions is decidable with an oracle for deciding whether or not a Diophantine equation has a rational solution, (3) the conjecture implies that the question whether or not a Diophantine equation has only finitely many integer solutions is decidable with an oracle for deciding whether or not a Diophantine equation has an integer solution, (4) the conjecture implies that if a set M \subseteq N has a finite-fold Diophantine representation, then M is computable.

研究の動機と目的

• 整数および有理数におけるディオファントス方程式の有限性に関する決定可能性を調査すること。
• ディオファントス系における解のサイズの予想される上界の意味を検討すること。
• 有限重複のディオファントス表現が集合の計算可能性を意味するかどうかを特定すること。
• 解の高さの上限とディオファントス論理におけるアルゴリズム的決定可能性との間の関係を確立すること。

提案手法

• 本稿では、f(1)=1 とし、f(n) = 2^{2^{f(n-1)}} で定義される高速成長関数 f(n) を導入し、これが解のサイズの候補上界として機能する。
• 非負整数に制限した形で、x_i = 1、x_i + x_j = x_k、x_i * x_j = x_k の形の連立方程式系を考察する。
• 予想は、このような系が有限個の解を持つならば、すべての変数について x_i ≤ f(2n) が成り立つというものである。
• この予想の論理的帰結、特にオракルを用いた決定可能性に関して考察する。
• ディオファントス方程式の構造と、それらの正規形への変換を用いて、解の上限と計算可能性を分析する。
• 特に、有限重複のディオファントス表現の概念を用いて、解の上限と集合の計算可能性との関係を結ぶ計算可能性理論の結果を応用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 解のサイズに対する予想される上界 f(2n) が、ディオファントス方程式の整数解の有限性が決定可能であることを示唆するか？
• RQ2 有理数解の有限性は、有理数解の存在を判定するオラクルを用いれば決定可能か？
• RQ3 この予想が、任意の集合 M ⊆ ℕ が有限重複のディオファントス表現を持つ場合、その集合が計算可能であることを示唆するか？
• RQ4 与えられたディオファントス方程式に対して、解の集合が有限である場合に、その整数解の大きさの上界を返すアルゴリズムは存在するか？
• RQ5 解の高さの上限とディオファントス論理における決定可能性との間には、どのような論理的関係があるか？

主な発見

• 予想が成立するならば、与えられたディオファントス方程式に対して、解の集合が有限である限り、すべての整数解の高さよりも大きい整数を返すアルゴリズムが存在する。
• 予想により、有理数解が有限個であるかどうかという問いは、有理数解の存在を判定するオラクルを用いれば決定可能である。
• 予想により、整数解が有限個であるかどうかという問いは、整数解の存在を判定するオラクルを用いれば決定可能である。
• 予想により、任意の集合 M ⊆ ℕ が有限重複のディオファントス表現を持つ場合、その集合は計算可能である。
• 予想は、上界自体の証明がなくても、解のサイズの上限と決定可能性との強い関係を確立する。
• 結果として、解の上限に関する単一の予想が、ディオファントス解析における複数の決定可能性および計算可能性の結果を統合的かつ拡張的に示すことが明らかになった。