[論文レビュー] An Algorithmic Approach to Address Course Enrollment Challenges

Arpita Biswas, Yiduo Ke+2 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2023

Optimization and Search Problems被引用数 1

ひとこと要約

本稿は、時間的重複と単位制限を伴う公平かつ効率的なコース登録のためのアルゴリズム的フレームワークを提案する。コーススケジューリングを区間ベースのリソース割り当て問題としてモデル化し、全利得に関して1/2要因、最大最小利得に関して1/4要因の近似を達成する近線形時間の近似アルゴリズムを提示している。実験的検証により、整数プログラミングに比べて著しく短い実行時間でほぼ最適な性能を達成していることが示された。

ABSTRACT

Massive surges of enrollments in courses have led to a crisis in several computer science departments - not only is the demand for certain courses extremely high from majors, but the demand from non-majors is also very high. Much of the time, this leads to significant frustration on the part of the students, and getting seats in desired courses is a rather ad-hoc process. One approach is to first collect information from students about which courses they want to take and to develop optimization models for assigning students to available seats in a fair manner. What makes this problem complex is that the courses themselves have time conflicts, and the students have credit caps (an upper bound on the number of courses they would like to enroll in). We model this problem as follows. We have n agents (students), and there are "resources" (these correspond to courses). Each agent is only interested in a subset of the resources (courses of interest), and each resource can only be assigned to a bounded number of agents (available seats). In addition, each resource corresponds to an interval of time, and the objective is to assign non-overlapping resources to agents so as to produce "fair and high utility" schedules. In this model, we provide a number of results under various settings and objective functions. Specifically, in this paper, we consider the following objective functions: total utility, max-min (Santa Claus objective), and envy-freeness. The total utility objective function maximizes the sum of the utilities of all courses assigned to students. The max-min objective maximizes the minimum utility obtained by any student. Finally, envy-freeness ensures that no student envies another student’s allocation. Under these settings and objective functions, we show a number of theoretical results. Specifically, we show that the course allocation under the time conflicts problem is NP-complete but becomes polynomial-time solvable when given only a constant number of students or all credits, course lengths, and utilities are uniform. Furthermore, we give a near-linear time algorithm for obtaining a constant 1/2-factor approximation for the general maximizing total utility problem when utility functions are binary. In addition, we show that there exists a near-linear time algorithm that obtains a 1/2-factor approximation on total utility and a 1/4-factor approximation on max-min utility when given uniform credit caps and uniform utilities. For the setting of binary valuations, we show three polynomial time algorithms for 1/2-factor approximation of total utility, envy-freeness up to one item, and a constant factor approximation of the max-min utility value when course lengths are within a constant factor of each other. Finally, we conclude with experimental results that demonstrate that our algorithms yield high-quality results in real-world settings.

研究の動機と目的

• コンピュータサイエンスのコース登録における需要の急増（専攻学生および非専攻学生の両方による）に起因する深刻な危機に対処すること。
• 時間的重複と学生の単位制限を尊重する公平で効率的な割り当てメカニズムを設計すること。
• 全利得、最大最小（サンタクロース）および envy-freeness の3つの公平性目的を最適化すること。
• 従来の整数プログラミングを上回る実行時間で、高い解の品質を維持するスケーラブルなアルゴリズムを開発すること。
• 実世界および合成データセットを用いた検証により、実用的応用性を示すこと。

提案手法

• 時間的重複を区間ベースの制約として扱い、重複する区間が重複不可制約を生じるリソース割り当て問題としてコース登録をモデル化する。
• 区間グラフを用いて衝突を表現し、重複するコースが割り当てられないように保証する。
• 二値評価と均一制約の下で、全利得の最大化、最大最小利得の最大化、および envy-freeness の達成のための近似アルゴリズムを適用する。
• 近線形時間のアルゴリズム的フレームワークにおいて、交換パス操作とネットワークフロー技術を用いる。
• NetworkX および Gurobi を用いて比較のための2つのアルゴリズム（アルゴリズム3および4）を実装・評価する。
• 二値評価（関心あり・なし）を採用し、スケジューリングにための離散的時間ステップを仮定する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 時間的重複と単位制限が存在する中で、全利得に関して定数要因の近似を達成できるか？
• RQ2 均一な単位制限と均一な利得の下で、最大最小公平性（サンタクロース）の目的関数に関して達成可能な近似比は何か？
• RQ3 区間ベースの衝突を想定したもとで、1つのアイテムまでに envy-free であることを保証する多項式時間アルゴリズムを設計できるか？
• RQ4 提案されたアルゴリズムの性能は、最適な整数プログラミング解と比較して、実行時間および利得の点でどの程度か？
• RQ5 テスト済みデータセットをはるかに超えるより大きな実世界のインスタンスにおいて、アルゴリズムは効果的にスケーラブルか？

主な発見

• 時間的重複を伴うコース割り当て問題は NP完全であるが、学生数または異なる単位制限、コース長、利得の数が定数である場合には多項式時間で解けるようになる。
• 二値利得の下で、近線形時間アルゴリズムが全利得に関して1/2要因の近似を達成する。
• 均一な単位制限と均一な利得の下で、近線形時間アルゴリズムが全利得に関して1/2要因の近似、最大最小利得に関して1/4要因の近似を達成する。
• 二値評価および長さが定数要因の範囲内にあるコースの下で、3つの多項式時間アルゴリズムが、全利得に関して1/2要因の近似、1アイテムまでに envy-free であることを達成し、最大最小利得に関して定数要因の近似を達成する。
• 実験結果から、アルゴリズム3は Gurobi を用いた整数プログラミングに比べて著しく短い実行時間でほぼ最適な利得を達成していることが示された。特に大規模インスタンスにおいて顕著であった。
• アルゴリズム4は小規模インスタンスでは遅いが、大規模データセットにおいてはスケーラビリティの可能性が強く示されており、実世界のコース登録システムにおける実用的妥当性を示している。