[論文レビュー] An Algorithmic Approach to Operator Product Expansions, $W$-Algebras and $W$-Strings

Kris Thielemans|ArXiv.org|Jun 23, 1995

Black Holes and Theoretical Physics被引用数 24

ひとこと要約

本稿は、2次元共形場理論における演算子積展開（OPE）を計算するためのアルゴリズム的フレームワークを提示する。$W$-代数および$W$-ストリングスへの応用を含む。Mathematicaを用いた記号計算により、OPE係数を体系的に計算する手法を導入し、$W\!B_{2}$-代数の初の明示的構成を達成するとともに、自由場実現のための基準を提示。これにより、ゲージ化$W$-対称理論における相関関数の正確な計算が可能となる。

ABSTRACT

String theory is currently the most promising theory to explain the spectrum of the elementary particles and their interactions. One of its most important features is its large symmetry group, which contains the conformal transformations in two dimensions as a subgroup. At quantum level, the symmetry group of a theory gives rise to differential equations between correlation functions of observables. We show that these Ward-identities are equivalent to Operator Product Expansions (OPEs), which encode the short-distance singularities of correlation functions with symmetry generators. The OPEs allow us to determine algebraically many properties of the theory under study. We analyse the calculational rules for OPEs, give an algorithm to compute OPEs, and discuss an implementation in Mathematica. There exist different string theories, based on extensions of the conformal algebra to so-called W-algebras. These algebras are generically nonlinear. We study their OPEs, with as main results an efficient algorithm to compute the beta-coefficients in the OPEs, the first explicit construction of the WB_2-algebra, and criteria for the factorisation of free fields in a W-algebra. An important technique to construct realisations of W-algebras is Drinfel'd- Sokolov reduction. The method consists of imposing certain constraints on the elements of an affine Lie algebra. We quantise this reduction via gauged WZNW-models. This enables us in a theory with a gauged W-symmetry, to compute exactly the correlation functions of the effective theory. Finally, we investigate the critical W-string theories based on an extension of the conformal algebra with one symmetry generator of dimension N. We clarify how the spectrum of this theory forms a minimal model of the W_N-algebra.

研究の動機と目的

• 共形場理論における演算子積展開（OPE）を体系的かつアルゴリズム的に計算するためのアプローチを開発すること。
• このフレームワークを、ドリンフェルト＝ソコロフ還元から生じる非線形$W$-代数へと拡張すること。
• ゲージ化WZNWモデルを用いて、$W$-対称理論における相関関数の正確な計算を可能にすること。
• 基準$W_N$-代数に基づく臨界$W$-ストリング理論の構造を明確にすること。
• 理論的高エネルギー物理学研究における実用的応用を想定し、OPE計算アルゴリズムをMathematicaに実装すること。

提案手法

• 対称性の制約とウォード恒等式に基づくOPEの計算ルールを構築する。
• 特に$W$-代数OPEにおける$\beta$-係数を計算するためのアルゴリズムを導入する。
• Map、Apply、Blockなどのカスタム関数を用い、記号的変換、変換ルール、およびカスタム関数を活用したMathematicaにおける実装。
• アフィンリー代数の制約をゲージ化することでドリンフェルト＝ソコロフ還元を適用し、有効理論における相関関数の正確な計算を達成する。
• 正規順序、ポアソン括弧、モード展開を用いてOPE構造を導出し、その代数的性質を分析する。
• リー代数における射影演算子とグレーディング構造を用いて、OPE特異性を体系的に分解・計算する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのようにして、保証された効率性と正しさを備えた$W$-代数におけるOPEをアルゴリズム的に計算できるか？
• RQ2 $W$-代数が自由場実現を許容するための必要十分条件は何か？
• RQ3 ゲージ化WZNWモデルを用いてドリンフェルト＝ソコロフ還元手順をどのようにして量子化し、正確な相関関数を計算できるか？
• RQ4 $W\!B_{2}$-代数の構造は何か？また、標準的な$W_N$-代数とはどのように異なるか？
• RQ5 $W_N$-代数に基づく臨界$W$-ストリング理論のスピンは、どのようにしてミニマルモデルを形成するか？

主な発見

• 本稿は、特定の非線形OPE関係を持つ、新しい$W$-代数である$W\!B_{2}$-代数の初の明示的構成を提示する。
• $W$-代数OPEにおける$\beta$-係数を計算するための効率的アルゴリズムが開発され、演算子特異性の体系的計算が可能となった。
• 自由場の因子分解のための基準が導出され、このような実現のための必要十分条件が提供された。
• ゲージ化WZNWモデルの定式化により、$W$-対称理論における相関関数の正確な計算が可能となった。
• 基準$W_N$-代数に基づく臨界$W$-ストリング理論のスピンがミニマルモデルを形成することを示した。これにより、理論の整合性と可積分性が確認された。
• Mathematicaにおける実装により、正規順序、モード展開、変換ルールをサポートする実用的で記号的なOPE計算が可能となった。