[論文レビュー] An Algorithmic Theory of Integer Programming

Friedrich Eisenbrand, Christoph Hunkenschröder+4 more|arXiv (Cornell University)|Apr 2, 2019

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 54被引用数 34

ひとこと要約

この論文は、変数数 n を入力依存とする一般的な整数プログラミング(IP)を解くアルゴリズム的フレームワークを開発し、係数の大きさで測られる a および treedepth による疎性 d をパラメータ化して、いくつかの構造化 IP クラスに対して固定パラメータ可解性とほぼ線形時間の結果を達成する。

ABSTRACT

We study the general integer programming problem where the number of variables $n$ is a variable part of the input. We consider two natural parameters of the constraint matrix $A$: its numeric measure $a$ and its sparsity measure $d$. We show that integer programming can be solved in time $g(a,d)\textrm{poly}(n,L)$, where $g$ is some computable function of the parameters $a$ and $d$, and $L$ is the binary encoding length of the input. In particular, integer programming is fixed-parameter tractable parameterized by $a$ and $d$, and is solvable in polynomial time for every fixed $a$ and $d$. Our results also extend to nonlinear separable convex objective functions. Moreover, for linear objectives, we derive a strongly-polynomial algorithm, that is, with running time $g(a,d)\textrm{poly}(n)$, independent of the rest of the input data. We obtain these results by developing an algorithmic framework based on the idea of iterative augmentation: starting from an initial feasible solution, we show how to quickly find augmenting steps which rapidly converge to an optimum. A central notion in this framework is the Graver basis of the matrix $A$, which constitutes a set of fundamental augmenting steps. The iterative augmentation idea is then enhanced via the use of other techniques such as new and improved bounds on the Graver basis, rapid solution of integer programs with bounded variables, proximity theorems and a new proximity-scaling algorithm, the notion of a reduced objective function, and others. As a consequence of our work, we advance the state of the art of solving block-structured integer programs. In particular, we develop near-linear time algorithms for $n$-fold, tree-fold, and $2$-stage stochastic integer programs. We also discuss some of the many applications of these classes.

研究の動機と目的

• 一般的な IP を、変数の数 n が入力に依存するものとして動機付け・研究する。
• 制約行列 A の数値的測度（係数の大きさ）と疎性 d の測度を定義する。
• Graver 基底を中心とした反復的拡張フレームワークを開発し、IP を効率的に解く。
• 非線形分離凸目的関数へフレームワークを拡張し、特定クラスで強多項式時間の結果を得る。
• 提案アプローチの限界を示す難度結果と下界を確立する。

提案手法

• 可行解から始まる反復的拡張アルゴリズムを導入する。
• A の Graver 基底を基本的な拡張ステップの集合として用いる。
• 拡張ステップを導く近接・緩和・拡張オラクルを開発する。
• 目的関数の Frank–Tardos 型等価性を適用して係数の有界表現を得る。
• N-fold、tree-fold、2段階確率的 IP に対するほぼ線形の固定パラメータアルゴリズムを導出する。
• ETH の下での下界を提供し、既存の難度結果と比較する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 係数の大きさ a および疎性 d が小さい場合、入力としての n を持つ一般的な IP は効率的に解けるのか。
• RQ2 原問題・双対問題の treedepth が、IP の可否性と実行時間に与える影響は何か。
• RQ3 フレームワークを分離凸目的関数や非線形ケースへ拡張できるのか。
• RQ4 ETH の下での難易度と下界の観点から、このアプローチの限界はどこにあるのか。
• RQ5 n-fold、tree-fold、確率的プログラムのような構造化 IP クラスに結果がどのように適用されるのか。

主な発見

• a, d が小さい場合に computable g(a,d) による poly(n,L) 時間で IP を解ける、IP が固定パラメータ可算である。
• 入力の他の部分に依存せず、g(a,d) poly(n) のランニングタイムを持つ ILP の強多項式アルゴリズムが存在する。
• 近接スケーリングアプローチにより、対数多の緩和されたインスタンスを多項式界で解くことができる。
• N-fold、tree-fold、2段階確率的 IP に対するほぼ線形の固定パラメータ可算アルゴリズムを得る。
• ETH の下で tdP(A) または tdD(A) における二重指数下界を提供し、固有の限界を示す。
• フレームワークは分離凸目的へ拡張され、いくつかの構造化 IP クラスでより高速なアルゴリズムをもたらす。